2012-2013学年福建省三明一中高三（上）第三次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x|3≤x＜7}，B={x|x²-7x+10＜0}，则C_R（A∩B）=（ ）
A．（-∞，3）∪（5，+∞）
B．（-∞，3）∪[5，+∞）
C．（-∞，3]∪[5，+∞）
D．（-∞，3]∪（5，+∞）

2. 难度：中等

i是虚数单位，若=a+bi（a，b∈R），则乘积ab的值是（ ）
A．-15
B．-3
C．3
D．15

3. 难度：中等

函数的定义域为（ ）
A．（0，+∞）
B．（1，+∞）
C．（0，1）
D．（0，1）∪（1，+∞）

4. 难度：中等

设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的（ ）
A．充要条件
B．充分而不必要的条件
C．必要而不充分的条件
D．既不充分也不必要的条件

5. 难度：中等

为了了解某校高三400名学生的数学学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方图如图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格率与优秀人数分别是（ ）

A．60%，60
B．60%，80
C．80%，80
D．80%，60

6. 难度：中等

在独立性检验中，统计量Χ²有两个临界值：3.841和6.635．当Χ²＞3.841时，有95%的把握说明两个事件有关，当Χ²＞6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，当Χ²≤3.841时，认为两个事件无关．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了2000人，经计算Χ²=20.87．根据这一数据分析，认为打鼾与患心脏病之间（ ）
A．有95%的把握认为两者有关
B．约有95%的打鼾者患心脏病
C．有99%的把握认为两者有关
D．约有99%的打鼾者患心脏病

7. 难度：中等

由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn=nm”类比得到“•=•”；
②“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（+）•=•+•”；
③“t=m”类比得到“•=•”；
④“t≠0，mt=xt⇒m=x”类比得到“≠，•=•⇒=”；
⑤“|m•n|=|m|•|n|”类比得到“|•|=||•||”；
以上式子中，类比得到的结论正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ）

A．f（x）=log₂
B．
C．f（x）=e^x
D．f（x）=xcos

9. 难度：中等

函数y=2sin²x是（ ）
A．最小正周期为π的偶函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为的偶函数
D．最小正周期为的奇函数

10. 难度：中等

曲线在点（0，1）处的切线方程为（ ）
A．y=2x+1
B．y=2x-1
C．y=x+1
D．y=-x+1

11. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=n²a_n（n∈N^*），可归纳猜想出S_n的表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

若函数f（x）在定义域R内可导，f（x+2）=f（-x），且当x∈（-∞，1）时，（x-1）f′（x）＜0，设a=f（log₃2），b=f（log₂3），c=f（0），则（ ）
A．a＜b＜c
B．c＜a＜b
C．c＜b＜a
D．b＜a＜c

二、填空题

13. 难度：中等

某小卖部为了了解热茶销售量y（杯）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：

气温（℃）	18	13	10	-1
杯  数	24	34	38	64

由表中数据算得线性回归方程中的b≈-2，预测当气温为-5℃时，热茶销售量为    杯．

14. 难度：中等

已知函数f′（x）是f（x）的导函数，且f′（x）=（a-1）x²+ax+1是偶函数，则f（x）的递增区间是    ．

15. 难度：中等

已知，若A∩B有两个元素，则的m取值范围是    ．

16. 难度：中等

在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B分别是离心率为e的圆锥曲线的焦点，顶点C在该曲线上．一同学已正确地推得：当m＞n＞0时，有e•（sinA+sinB）=sinC．类似地，当m＞0、n＜0时，有e•（    ）=sinC．

三、解答题

17. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n=2-S_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃，a₄的值并猜想这个数列的通项公式
（Ⅱ）证明数列{a_n}是等比数列．

18. 难度：中等

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中c=2，又向量=（1，cosC），=（cosC，1），•=1．
（1）若A=45°，求a的值；
（2）若a+b=4，求△ABC的面积．

19. 难度：中等

已知关于x的一元二次函数f（x）=ax²-4bx+1．
（1）设集合P={1，2，3}和Q={-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；
（2）设点（a，b）是区域内的随机点，记A={y=f（x）有两个零点，其中一个大于1，另一个小于1}，求事件A发生的概率．

20. 难度：中等

如图，已知两个正方行ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．
（1）若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦；
（2）用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．

21. 难度：中等

设函数，其中a为实数．
（1）已知函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（2）已知不等式f′（x）＞x²-x-a+1对任意a∈（0，+∞）都成立，求实数x的取值范围．

22. 难度：中等

已知椭圆的一个焦点为，与两坐标轴正半轴分别交于A，B两点（如图），向量与向量=共线．
（1）求椭圆的方程；
（2）若斜率为k的直线过点C（0，2），且与椭圆交于P，Q两点，求△POC与△QOC面积之比的取值范围．