2012-2013学年湖北省宜昌一中高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16

2. 难度：中等

过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ）
A．x-2y-1=0
B．x-2y+1=0
C．2x+y-2=0
D．x+2y-1=0

3. 难度：中等

下列有关命题的说法错误的是（ ）
A．命题“若x²-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x²-3x+2≠0”
B．若p∨q为真命题，则p、q均为真命题
C．“x=2”是“x²-3x+2=0”的充分不必要条件
D．对于命题p：∃x∈R使得x²+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，均有x²+x+1≥0

4. 难度：中等

已知a，b是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．a∥b，b∥α，则a∥α
B．a，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β
C．a⊥α，b∥α，则a⊥b
D．当a⊂α，且b⊄α时，若b∥α，则a∥b

5. 难度：中等

从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么对立的两个事件是（ ）
A．至少有1个白球，至少有1个红球
B．至少有1个白球，都是红球
C．恰有1个白球，恰有2个白球
D．至少有1个白球，都是白球

6. 难度：中等

甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（ ）
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

7. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知椭圆的焦点为F₁、F₂，在长轴A₁A₂上任取一点M，过M作垂直于A₁A₂的直线交椭圆于P，则使得的M点的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y-2=0与圆（x-1）²+（y-1）²=1相切，则m+n的取值范围是（ ）
A．[1-，1+]
B．（-∞，1-]∪[1+，+∞）
C．[2-2，2+2]
D．（-∞，2-2]∪[2+2，+∞）

10. 难度：中等

设F₁、F₂分别为双曲线：-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，若的最小值为8a，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．[3，+∞）
B．（1，3]
C．（1，]
D．[，+∞）

二、填空题

11. 难度：中等

用秦九韶算法计算多项式f（x）=3x⁶+4x⁵+5x⁴+6x³+7x²+8x+1当x=0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数共    次．

12. 难度：中等

某单位为了了解用电量y度与气温x°C之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：

气温（°C）	18	13	10	-1
用电量（度）	24	34	38	64

由表中数据得线性回归方程中b=-2，预测当气温为-4°C时，用电量的度数约为    ．

13. 难度：中等

如图，二面角α-l-β的大小是60°，线段AB⊂α．B∈l，AB与l所成的角为30°．则AB与平面β所成的角的正弦值是    ．

14. 难度：中等

设命题p：，q：函数y=x²+4x+4（a+2）只有负零点．则p是q成立的    ．（填条件命题）

15. 难度：中等

在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确的是    （写出所有正确命题的编号）．
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点
②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点
③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点
④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数
⑤存在恰经过一个整点的直线．

三、解答题

16. 难度：中等

已知命题p：∀x∈[1，2]，x²-a≥0；命题q：∃x∈R，使得x²+（a-1）x+1＜0．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围．

17. 难度：中等

某校高二数学竞赛初赛考试后，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若130～140分数段的人数为2人．
（1）估计这所学校成绩在90～140分之间学生的参赛人数；
（2）估计参赛学生成绩的众数、中位数和平均数．

18. 难度：中等

如图，在锥体P-ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点
（1）证明：AD⊥平面DEF
（2）求二面角P-AD-B的余弦值．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-2ax+b，a，b∈R．
（1）若a从集合{0，1，2，3}中任取一个元素，b从集合{0，1，2}中任取一个元素，求方程f（x）=0有两个不相等实根的概率；
（2）若a从区间[0，2]中任取一个数，b从区间[0，3]中任取一个数，求方程f（x）=0没有实根的概率．

20. 难度：中等

已知⊙O：x²+y²=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．
（1）求实数a，b间满足的等量关系；
（2）求线段PQ长的最小值；
（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程．

21. 难度：中等

已知直线l与椭圆C：交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）两不同点，且△OPQ的面积S_△OPQ=，其中O为坐标原点．
（Ⅰ）证明x₁²+x₂²和y₁²+y₂²均为定值；
（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求|OM|•|PQ|的最大值；
（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D，E，G，使得S_△ODE=S_△ODG=S_△OEG=？若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由．