2012-2013学年湖南省永州市祁阳四中高三（上）第三次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知命题P：∃x∈R，e^x≤0则￢P为（ ）
A．∀x∈R，e^x≤o
B．∀x∈R，e^x＞0
C．∃x∈R，e^x＞o
D．∃x∈R，e^x≥o

2. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₂=2，a₃=4，则a₁₀=（ ）
A．12
B．14
C．16
D．18

3. 难度：中等

已知=（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

函数f（x）=x+lnx-3的零点所在区间为（ ）
A．（2，3）
B．（3，+∞）
C．（1，2）
D．（0，1）

5. 难度：中等

下列命题中，错误的是（ ）
A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交
B．平行于同一平面的两个不同平面平行
C．如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
D．若直线l不平行平面α，则在平面α内不存在与l平行的直线

6. 难度：中等

已知向量，，满足（+2）（-）=-6，且||=1，||=2，则与的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

函数y=2cos²x的一个单调增区间是（ ）．
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

数列{a_n}中，，则a₁₀=（ ）
A．3.4
B．3.6
C．3.8
D．4

9. 难度：中等

在△ABC中，若•+²=0，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形

二、填空题

10. 难度：中等

计算=    ．

11. 难度：中等

过原点作曲线y=e^x的切线，则切线方程为    ．

12. 难度：中等

一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是    m²．

13. 难度：中等

已知函数f（n）=log_（n-1）（n+2）（n为正整数），若存在正整数k满足：f（1）•f（2）…f（n）=k，那么我们将k叫做关于n的“对整数”．当n∈[1，2012]时，则“对整数”的个数为    个．

14. 难度：中等

函数y=3sin（）的图象为C，如下结论中正确的是    （写出所有正确结论的编号）．
①图象C关于直线x=π对称；
②图象C关于点（）对称；
③函数在区间内是增函数；
④由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C．
⑤若直线y=a与图象C有无限个交点，从小到大依次为A₁，A₂，A₃…A_n，则|A_2n-1A_2n+1|=π

15. 难度：中等

已知，各项均为正数的数列{a_n}满足a₁=1，a_n+2=f（a_n），若a₂₀₁₀=a₂₀₁₂，则a₂₀+a₁₁的值是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）下表是年龄的频数分布表，求正整数a，b的值；

区间	[25，30）	[30，35）	[35，40）	[40，45）	[45，50]
人数	50	50	a	150	b

（Ⅱ）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．

17. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃=5，S₁₅=225．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列{b_n}的前n项和T_n．

18. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，．
（1）求△ABC的面积；       
（2）若c=1，求的值．

19. 难度：中等

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，SA⊥CD，AB⊥平面SAD，点M是SC的中点，且SA=AB=BC=1，AD=．
（1）求四棱锥S-ABCD的体积；
（2）求证：DM∥平面SAB；
（3）求直线SC和平面SAB所成的角的正弦值．

20. 难度：中等

某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0、02元，但实际出厂单价不能低于51元．
（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f（x）的表达式；
（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本）

21. 难度：中等

设函数f（x）=（x-a）e^x+（a-1）x+a，a∈R．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）（i）设g（x）是f（x）的导函数，证明：当a＞2时，在（0，+∞）上恰有一个x使得g（x）=0；
（ii）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈[0，2]，恒有f（x）≤0成立．注：e为自然对数的底数．