2012-2013学年江苏省常州高级中学高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知复数，（m∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则m的值是    ．

2. 难度：中等

设集合，则A∪B=    ．

3. 难度：中等

函数的单调递增区间是    ．

4. 难度：中等

过点（1，0）且倾斜角是直线2x+3y+3=0的倾斜角的两倍的直线方程是    ．

5. 难度：中等

右边是根据所输入的x值计算y值的一个算法程序，若x依次取数列（n∈N₊）中的前200项，则所得y值中的最小值为    ．

6. 难度：中等

设ω＞0，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是    ．

7. 难度：中等

设a∈R，则“a=1”是“直线l₁：ax+2y-1=0与l₂：x+（a+1）y+4=0平行”的    条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）

8. 难度：中等

设点P是曲线上的任意一点，点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围为     ．

9. 难度：中等

若，则a的取值范围是    ．

10. 难度：中等

如图，l₁，l₂，l₃是同一平面内的三条平行直线，l₁与l₂间的距离是1，l₃与l₂间的距离是2，正△ABC的三顶点分别在l₁，l₂，l₃上，则△ABC的边长是    ．

11. 难度：中等

已知△ABC中，AB边上的中线CM=2，若动点P满足，则的最小值是    ．

12. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若（a₂-1）³+2010（a₂-1）=1，（a₂₀₀₉-1）³+2010（a₂₀₀₉-1）=-1，则下列四个命题中真命题的序号为    ．
①S₂₀₀₉=2009；②S₂₀₁₀=2010；③a₂₀₀₉＜a₂；④S₂₀₀₉＜S₂．

13. 难度：中等

已知关于x的实系数一元二次不等式ax²+bx+c≥0（a＜b）的解集为R，则的最小值是    ．

14. 难度：中等

已知二次函数f（x）=x²-x+k，k∈Z，若函数g（x）=f（x）-2在上有两个不同的零点，则的最小值为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期和值域；
（2）若x=x为f（x）的一个零点，求sin2x的值．

16. 难度：中等

设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若，试求的最小值．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=x+的定义域为（0，+∞），且f（2）=2+．设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．
（1）求a的值．
（2）问：|PM|•|PN|是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．
（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．

18. 难度：中等

设函数上两点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），若，且P点的横坐标为
（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个值；
（2）若，n∈N^*，求S_n；
（3）记T_n为数列的前n项和，若对一切n∈N^*都成立，试求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足，当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水口释放的浓度不低于4（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化．
（1）如果投放的药剂质量为m=4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？
（2）如果投放的药剂质量为m，为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化，试确定该投放的药剂质量m的值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²+（b-a）x（a，b不同时为零的常数），导函数为f′（x）．
（1）当时，若存在x∈[-3，-1]使得f′（x）＞0成立，求b的取值范围；
（2）求证：函数y=f′（x）在（-1，0）内至少有一个零点；
（3）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0，关于x的方程在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围．