2012-2013学年湖北省荆州市高三（上）12月质量检查数学试卷Ⅰ（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=f（x）的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（ ）
①f（x）=x²（x≥0）；
②f（x）=e^x（x∈R）；
③f（x）=（x≥0）；
④f（x）=．
A．①②③④
B．①②④
C．①③④
D．①③

2. 难度：中等

已知y=f（x）是定义域为的可导函数，f（1）=f（3）=1，f（x）的导数为f′（x），且时，f′（x）＜0；x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，则不等式组所表示的平面区域的面积等于（ ）
A．
B．
C．
D．1

二、填空题

3. 难度：中等

函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，且函数图象关于点对称，则函数的解析式为    ．

4. 难度：中等

设S_n是等比数列{a_n}的前n项和，S₃，S₉，S₆成等差数列，且a₂+a₅=2a_m，则m=    ．

5. 难度：中等

函数f（x）=xe^x-a有两个零点，则实数a的取值范围是    ．

6. 难度：中等

如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；以此类推，则
（1）按网络运作顺序第n行第一个数字（如第2行第1个数字为2，第3行第1个数字为4，…）是    ；
（2）第63行从左至右的第4个数应是    ．

7. 难度：中等

函数f（x）=|x³-3x²-t|，x∈[0，4]的最大值记为g（t），当t在实数范围内变化时g（t）最小值为    ．

三、解答题

8. 难度：中等

已知函数．
（I ）求函数f（x）的周期和最小值；
（II）在锐角△ABC中，若f（A）=1，，，求△ABC的面积．

9. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列．
（1）若，求角C的值；
（2）求sinA+sinC的最大值，并指出此时三角形的形状．

10. 难度：中等

设函数，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1
（1）求b，c的值；
（2）若a＞0，求函数f（x）的单调区间；
（3）设已知函数g（x）=f（x）+2x，且g（x）在区间（-2，-1）内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．

11. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项的和S_n=n²+2n，数列{b_n}是正项等比数列，且满足a₁=2b₁，b₃（a₃-a₁）=b₁．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项的和．

12. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足，证明：{b_n}是等差数列；
（3）证明：．

13. 难度：中等

已知，，，…，n∈N^*
（1）请写出f_n（x）的表达式（不需要证明）；
（2）求f_n（x）的极小值；
（3）设，g_n（x）的最大值为a，f_n（x）的最小值为b，证明：a-b≥e^-4．

四、选择题

14. 难度：中等

设集合，，则（C_RA）∩B=（ ）
A．{x|-1≤x≤1}
B．{x|-1＜x＜1}
C．{-1，1}
D．{1}

15. 难度：中等

设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x=-2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

16. 难度：中等

已知，则sinθ-cosθ的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

17. 难度：中等

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（ ）
A．
B．
C．
D．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=1-2^x，g（x）=x²-4x+3，若有f（a）=g（b），则b的取值范围是（ ）
A．
B．
C．[1，3]
D．（1，3）

19. 难度：中等

公差不为零的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₄是a₃与a₇的等比中项，且S₁₀=60，则S₂₀=（ ）
A．80
B．160
C．320
D．640

20. 难度：中等

在△ABC中，AB=2，AC=4，若点P为△ABC的外心，则的值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

21. 难度：中等

设定义域为R的函数若关于x的方程f²（x）-（2m+1）f（x）+m²=0有5个不同的实数解，则m=（ ）
A．6
B．4或6
C．6或2
D．2