2011-2012学年湖北省武汉市部分重点中学（五校）高二（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

360和504的最大公约数是（ ）
A．72
B．24
C．2520
D．以上都不对

2. 难度：中等

在空间坐标中，点B是A（1，2，3）在yOz坐标平面内的射影，O为坐标原点，则|OB|等于（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

若直线l₁：ax+（1-a）y-3=0与直线l₂：（a-1）x+（2a+3）y-2=0互相垂直，则a的值是（ ）
A．-3
B．1
C．0或
D．1或-3

4. 难度：中等

点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，若PA=PB=PC，则点O是△ABC的（ ）
A．垂心
B．重心
C．内心
D．外心

5. 难度：中等

如图是将二进制数11111_（2）化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（ ）

A．i≤5
B．i≤4
C．i＞5
D．i＞4

6. 难度：中等

在下列关于直线l、m与平面α、β的命题中，真命题是（ ）
A．若l⊂β，且α⊥β，则l⊥α
B．若l⊥β，且α∥β，则l⊥α
C．若α∩β=m，且l⊥m，则l∥α
D．若l⊥β，且α⊥β，则l∥α

7. 难度：中等

用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x-8x²+79x³+6x⁴+5x⁵+3x⁶在x=-4时的值时，V₃的值为（ ）
A．-845
B．220
C．-57
D．34

8. 难度：中等

如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（ ）
A．2
B．6
C．3
D．2

9. 难度：中等

已知直线a与平面α所成的角为30°，P为空间一定点，过P作与a、α所成的角都是45°的直线l，则这样的直线l可作（ ）条．
A．2
B．3
C．4
D．无数

10. 难度：中等

直线y=与圆x²+y²+mx+ny-4=0交于M、N两点，且M、N关于直线x+y=0对称，则弦MN的长为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

二、填空题

11. 难度：中等

为了在运行如图的程序之后得到输出y=16，键盘输入x应该是    ． （填一个答案即可）

12. 难度：中等

完成下列进位制之间的转化：101101_（2）=    _（10）=    _（7）．

13. 难度：中等

直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则b的取值范围是    ．

14. 难度：中等

圆C的方程为（x-2）²+y²=4，圆M的方程为（x-2-5cosθ）²+（y-5sinθ）²=1（θ∈R），过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE、PF，切点分别为E、F，则的最小值为    ．

15. 难度：中等

将边长为2，一个内角为60°的菱形ABCD沿较短对角线BD折成四面体ABCD，点E，F分别为AC，BD的中点，则下列命题中正确的是    ．
①EF∥AB；
②EF⊥BD；
③EF有最大值，无最小值；
④当四面体ABCD的体积最大时，； 
⑤AC垂直于截面BDE．

三、解答题

16. 难度：中等

已知直线l：kx-y+1+2k=0．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l交x负半轴于A，交y正半轴于B，△AOB的面积为S，试求S的最小值并求出此时直线l的方程．

17. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的侧面PAD垂直于底面ABCD，∠ADC=∠BCD=90°，PA=PD=AD=2BC=2，CD=，M在棱PC上，N是AD的中点，二面角M-BN-C为30°．
（1）求的值；
（2）求直线PB与平面BMN所成角的大小．

18. 难度：中等

已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x-a）²+（y-b）²=r²及其内部所覆盖．
（1）试求圆C的方程．
（2）若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B满足CA⊥CB，求直线l的方程．

19. 难度：中等

如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，∠EAC=60°，AB=AC=AE．
（1）在直线BC上是否存在一点P，使得DP∥平面EAB？请证明你的结论；
（2）求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ的余弦值．

20. 难度：中等

已知圆C的圆心在直线y=x+1上，且过点A（1，3），与直线x+2y-7=0相切．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线l：ax-y-2=0（a＞0）与圆C相交于A、B两点，求实数a的取值范围；
（3）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（-2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知圆O：x²+y²=4和点M（1，a），
（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；
（2）若，过点M的圆的两条弦AC．BD互相垂直，求AC+BD的最大值．