2012-2013学年广东省汕头市金山中学高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则∁_UM=（ ）
A．U
B．{1，3，5}
C．{3，5，6}
D．{2，4，6}

2. 难度：中等

若向量，向量，则=（ ）
A．（-2，-4）
B．（3，4）
C．（6，10）
D．（-6，-10）

3. 难度：中等

下列函数，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ）
A．y=ln（x+2）
B．
C．
D．

4. 难度：中等

一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为，则正视图中x的值为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2

5. 难度：中等

已知实数a，b满足-1≤a≤1，-1≤b≤1，则函数y=x³-ax²+bx+5有极值的概率（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

在△ABC中，已知，，则cosC的值为（ ）
A．
B．
C．或
D．

7. 难度：中等

从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设a＞0，b＞0（ ）
A．若2^a+2a=2^b+3b，则a＞b
B．若2^a+2a=2^b+3b，则a＜b
C．若2^a-2a=2^b-3b，则a＞b
D．若2^a-2a=2^b-3b，则a＜b

二、填空题

9. 难度：中等

设向量=（-2，1），=（λ，-1）（λ∈R），若、的夹角为钝角，则λ的取值范围是    ．

10. 难度：中等

已知某同学五次数学成绩分别是：121，127，123，a，125，若其平均成绩是124，则这组数据的方差是    ．

11. 难度：中等

已知递增的等差数列{a_n}满足a₁=1，a₃=a₂²-4，则a_n=    ．

12. 难度：中等

如图，在圆O中，若弦AB=3，弦AC=5，则•=    ．

13. 难度：中等

在锐角△ABC中，BC=1，∠B=2∠A，则=    ．

14. 难度：中等

设N=2ⁿ（n∈N^*，n≥2），将N个数x₁，x₂，…，x_N依次放入编号为1，2，…，N的N个位置，得到排列P=x₁x₂…x_N．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列P₁=x₁x₃…x_N-1x₂x₄…x_N，
将此操作称为C变换，将P₁分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到P₂，当2≤i≤n-2时，将P_i分成2ⁱ段，每段个数，并对每段作C变换，得到P_i+1，例如，当N=8时，P₂=x₁x₅x₃x₇x₂x₆x₄x₈，此时x₇位于P₂中的第4个位置．
（1）当N=16时，x₇位于P₂中的第    个位置；
（2）当N=2ⁿ（n≥8）时，x₁₇₃位于P₄中的第    个位置．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，其图象经过点．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知，且，，求f（α-β）的值．

16. 难度：中等

2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》．其中规定：居民区中的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：

组别	PM2.5（微克/立方米）	频数（天）	频率
第一组	（0，15]	4	0.1
第二组	（15，30]	12	0.3
第三组	（30，45]	8	0.2
第四组	（45，60]	8	0.2
第三组	（60，75]	4	0.1
第四组	（75，90）	4	0.1

（Ⅰ）写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；
（Ⅱ）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；
（Ⅲ）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）．

17. 难度：中等

某啤酒厂为适应市场需要，2011年起引进葡萄酒生产线，同时生产啤酒和葡萄酒，2011年啤酒生产量为16000吨，葡萄酒生产量1000吨．该厂计划从2012年起每年啤酒的生产量比上一年减少50%，葡萄酒生产量比上一年增加100%，试问：
（1）哪一年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低？
（2）从2011年起（包括2011年），经过多少年葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之和的？（生产总量是指各年年产量之和）

18. 难度：中等

已知数列{a_n}中，．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）求数列{n²a_n}的前n项和T_n；
（3）若存在n∈N^*，使关于n的不等式a_n≤（n+1）λ成立，求常数λ的最小值．

19. 难度：中等

设函数内有极值．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），求证：．

20. 难度：中等

设函数（n∈N，且n＞1，x∈N）．
（Ⅰ）当x=6时，求的展开式中二项式系数最大的项；
（Ⅱ）对任意的实数x，证明＞f'（x）（f'（x）是f（x）的导函数）；
（Ⅲ）是否存在a∈N，使得an＜＜（a+1）n恒成立？若存在，试证明你的结论并求出a的值；若不存在，请说明理由．