2012-2013学年湖南省常德市芷兰实验学校高三（上）第三次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x|y=}，B={y|y=lgx，1≤x≤100}，则A∩B=（ ）
A．[1，100]
B．[1，2]
C．[0，2]
D．[0，10）

2. 难度：中等

设函数f（x）=log_ax（a＞0，a≠1），若f（x₁x₂…x_n）=8，则f（）+f（）+…+f（）=（ ）
A．4
B．8
C．16
D．2 log_a8

3. 难度：中等

定义运算a*b为：a*b=，如则1*（2^x）的取值范围是（ ）
A．（0，2]
B．（0，3]
C．（0，1]
D．[1，2]

4. 难度：中等

若函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象（部分）如图示，则ω和φ的取值是（ ）

A．ω=，φ=
B．ω=1，φ=
C．ω=，φ=
D．ω=，φ=-

5. 难度：中等

下列命题中，真命题是（ ）
A．若sinA=，则A=30°
B．x+y≠2012是x≠1006或y≠1006的充分不必要条件
C．存在实数a，b∈（0，+∞）当a+b=1时，+=
D．若m＞0，则x²+x+m=0有实根

6. 难度：中等

若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=e^x（x+1），给出下列命题：
①当x＞0时，f（x）=e^x（1-x）；
②f（x）＞0的解集为（-1，0）∪（1，+∞）；
③函数f（x）有2个零点；
④∀x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2，
其中正确命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

定义在R上的函数，若关于x的方程f²（x）+af（x）+b=3有3个不同实数解x₁、x₂、x₃，且x₁＜x₂＜x₃，则下列结论错误的是（ ）
A．x₁²+x₂²+x₃²=14
B．a+b=2
C．x₁+x₃＞2x₂
D．x₁+x₃=4

二、填空题

9. 难度：中等

如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P．若PB=1，PD=3，则的值为    ．

10. 难度：中等

设M、N分别为曲线C₁：（t为参数）和C₂：ρ+2sinθ=0上的动点，则M、N两点间的最小距离是    ．

11. 难度：中等

用0.618法选取试点的过程中，如果试验区间为[2，4]，且第一个试点x₁的结果比第二个试点x₂处好，其中x₁＞x₂，则第三个试点x₃为    ．

12. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，若a₄，a₈是方程x²-4x-1=0的两根，则a₆的值是    ．

13. 难度：中等

例题：已知，，且，求cosβ的值为    ．

14. 难度：中等

若函数上有最小值，则a的取值范围为    ．

15. 难度：中等

对于函数，若f（x）有六个不同的单调区间，则a的取值范围为    ．

16. 难度：中等

已知集合M={f（x）|f²（x）-f²（y）=f（x+y）•f（x-y）}，x，y∈R，有下列命题：
①若则f₁（x）∈M；
②若f₂（x）=sinx，则f₂（x）∈M；
③若f（x）∈M，y=f（x）的图象关于原点对称；
④若f（x）∈M，则对任意不等的实数x₁、x₂，总有；
⑤若f（x）∈M，则对任意的实数x₁、x₂，总有．
其中是正确的命题有    ．（写出所有正确命题的编号）

三、解答题

17. 难度：中等

设有两个命题：
命题p：不等式|x-1|+|x-3|＞a对一切实数x都成立；
命题q：已知函数f（x）=mx³+nx²的图象在点（-1，2）处的切线恰好与直线2x+y=1平行，且f（x）在[a，a+1]上单调递减．
若命题“p或q“为真，求实数a的取值范围．

18. 难度：中等

已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ）且与满足关系式：|k+|=|-k|（其中k＞0）．
（1）用k表示•；
（2）证明：与不垂直；
（3）当与的夹角为60°时，求k的值．

19. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=6，a_n=3a_n-1+3ⁿ（n≥2，且n∈N^*）
（1）求证数列{}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_n-3ⁿ，求数列{b_n}的前n项和S_n．

20. 难度：中等

如图1，某学校田径场上有一旗杆OP，为了测量它的高度，在地面上选一基线AB，设其长度为d，在A点处测得P点的仰角为α，在B点处测得P点的仰角为β．
（1）若AB=20，α=30°，β=45°，且∠AOB=30°，求旗杆的高度h；
（2）经分析若干测得的数据后，发现将基线AB调整到线段AO上（如图2），α与β之差尽量大时，可以提高测量精确度，设调整后AB的距离为d，tanβ=，旗杆的实际高度为25，试问d为何值时，β-α最大？

21. 难度：中等

已知A、B、C是直线l上的三点，向量、、满足：-（y+1-lnx）+=，（O不在直线l上，a＞0）
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求a的范围；
（3）求证：lnn＞+++…+对n≥2的正整数n恒成立．

22. 难度：中等

定义函数f_n（x）=（1+x）ⁿ-1，x＞-2，x∈N^*．
（1）求证：f_n（x）≥nx；
（2）是否存在区间[a，0]（a＜0），使函数h（x）=f₃（x）-f₂（x）在区间[a，0]上的值域为[ka，0]若存在，求出最小的k值及相应的区间[a，0]，若不存在，说明理由．