2012-2013学年江苏省泰州市靖江市高三（上）期中数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知i是虚数单位，复数，则z虚部为    ．

2. 难度：中等

若A={x|（x-1）²＜2x-4}，则A∩Z的元素个数为    ．

3. 难度：中等

设命题p：α=，命题q：sinα=cosα，则p是q的    条件．

4. 难度：中等

已知，则a=    ．

5. 难度：中等

已知x∈R，f（x）为sinx与cosx中的较小者，设m≤f（x）≤n，则m+n=    ．

6. 难度：中等

设函数f （x）=，若f （a）=a，则实数a的值是    ．

7. 难度：中等

设a∈R，函数f （x）=e^x+是偶函数，若曲线y=f （x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为    ．

8. 难度：中等

已知α为第四象限的角，且=    ．

9. 难度：中等

已知=（m，n-1），=（1，1）（m、n为正数），若⊥，则+的最小值是    ．

10. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n=（a+1）n²+a，某三角形三边之比为a₂：a₃：a₄，则该三角形最大角为    ．

11. 难度：中等

已知函数f （x）=ax²+bx+与直线y=x相切于点A（1，1），若对任意x∈[1，9]，不等式f （x-t）≤x恒成立，则所有满足条件的实数t的值为    ．

12. 难度：中等

已知等差数列{a_n}和等比数列{b_n}满足：a₁+b₁=3，a₂+b₂=7，a₃+b₃=15，a₄+b₄=35，则a₅+b₅=    ．

13. 难度：中等

如图，平面内有三个向量、、，其中与与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||=||=1，||=，若=λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的值为    ．

14. 难度：中等

定义在R上的函数y=f（x）是减函数，y=f（x-1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s²-2s）≤-f（2t-t²），则当的取值范围是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=2^x+k•2^-x，k∈R．
（1）若函数f（x）为奇函数，求实数k的值；
（2）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2^-x成立，求实数k的取值范围．

16. 难度：中等

已知向量=（sin，1），=（cos，cos²），f（x）=•．
（1）若f（x）=1，求cos（x+）的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足acosC+c=b，求函数f（B）的取值范围．

17. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，前n项和
（1）求a₂，a₃；
（2）求{a_n}的通项公式．

18. 难度：中等

两县城A和B相距20km，现计划在两城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065．
（1）按下列要求建立函数关系式：
①设∠CAB=θ（rad），将θ表示成y 的函数；并写出函数的定义域．
②设AC=x（km），将x表示成y的函数；并写出函数的定义域．
（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定垃圾处理厂的位置，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？

19. 难度：中等

已知函数f（x）=|x|（x-a），a为实数．
（1）当a=1时，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）当a≤0时，指出函数f（x）的单调区间（不要过程）；
（3）是否存在实数a（a＜0），使得f（x）在闭区间上的最大值为2．若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和为S_n，存在常数A，B，C，使得对任意正整数n都成立．
（1）若数列{a_n}为等差数列，求证：3A-B+C=0；
（2）若，设b_n=a_n+n，数列{nb_n}的前n项和为T_n，求T_n；
（3）若C=0，{a_n}是首项为1的等差数列，设，求不超过P的最大整数的值．