2012-2013学年甘肃省兰州一中高三（上）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={x|（x+3）（x-1）＜0}，N={x|x≤-3}，则C_R（M∪N）=（ ）
A．{x|x≤1}
B．{x|x≥1}
C．{x|x＜1}
D．{x|x＞1}

2. 难度：中等

复数，则z²=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知向量=（2，1），=（x，-2），若∥，则+等于（ ）
A．（-2，-1）
B．（2，1）
C．（3，-1）
D．（-3，1）

4. 难度：中等

条件甲“a＞1”是条件乙“a＞”的（ ）
A．既不充分也不必要条件
B．充要条件
C．充分不必要条件
D．必要不充分条件

5. 难度：中等

函数f（x）=log₂x与在同一直角坐标系中的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，公差为1，前7项的和S₇=28，则a₅的值为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2

7. 难度：中等

函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（其中）的图象如图所示，为了得到y=sinωx的图象，只需把y=f（x）的图象上所有点（ ）

A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度

8. 难度：中等

函数f（x）在定义域R上不是常数函数，且f（x）满足条件：对任意x∈R，都有f（2+x）=f（2-x），f（1+x）=-f（x），
则f（x）是（ ）
A．奇函数但非偶函数
B．偶函数但非奇函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．是非奇非偶函数

9. 难度：中等

设，若对于任意x₁∈[0，1]，总存在x∈[0，1]，使得g（x）=f（x₁）成立，则a的取值范围是（ ）
A．
B．[4，+∞）
C．
D．

10. 难度：中等

如图，是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行； 数字2，3出现在第2行； 数字6，5，4（从左至右）出现在第3行，数字7，8，9，10出现在第4行，依此类推，则第63行从左至右的第5个数应是（ ）

A．2011
B．2012
C．2013
D．2014

11. 难度：中等

设a=log₃2，b=ln2，c=，则（ ）
A．a＜b＜c
B．b＜c＜a
C．c＜a＜b
D．c＜b＜a

12. 难度：中等

设α是锐角，若tan（α+）=，则sin（2α+）的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

已知函数，则f[f（1）]=    ．

14. 难度：中等

函数f（x）=sinx+cosx在区间[-]上的最大值是    ．

15. 难度：中等

若a，b，c均为正数，且3^a=4^b=6^c，则的值是    ．

16. 难度：中等

设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为6，则的最小值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若．
（Ⅰ）求A； 
（Ⅱ）若，求△ABC的面积．

18. 难度：中等

已知向量=（1，7），=（5，1），=（2，1），点Q为直线OP上一动点．
（Ⅰ）当，求的坐标；
（Ⅱ）当取最小值时，求的坐标．

19. 难度：中等

数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）令b_n=，求证数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

20. 难度：中等

已知f（x）=x+asinx．
（Ⅰ） 若a=2，求f（x）在[0，π]上的单调递减区间；
（Ⅱ）当常数a≠0时，设g（x）=，求g（x）在[]上的最大值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=+lnx-1（a是常数，e=2.71828）．
（Ⅰ）若x=2是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a=1时，方程f（x）=m在上有两解，求实数m的取值范围．

22. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．
（Ⅰ）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
（Ⅱ）若，求EC的长．

23. 难度：中等

在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），已知过点P（-2，-4）的直线L的参数方程为：，直线L与曲线C分别交于M，N．
（Ⅰ）写出曲线C和直线L的普通方程；    
（Ⅱ）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．

24. 难度：中等

已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a-1|的解集非空，求实数a的取值范围．