2012-2013学年广东省湛江市雷州一中高三（上）摸底数学试卷（文科）（实验班）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为（ ）
A．0
B．6
C．12
D．18

2. 难度：中等

的值是（ ）
A．1
B．-1
C．i
D．-i

3. 难度：中等

已知向量，，若向量⊥，则x=（ ）
A．2
B．-2
C．8
D．-8

4. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₃+a₉=27-a₆，S_n表示数列{a_n}的前n项和，则S₁₁=（ ）
A．18
B．99
C．198
D．297

5. 难度：中等

已知直线l、m，平面α、β，则下列命题中：
①若α∥β，l⊂α，则l∥β    ②若α∥β，l⊥α，则l⊥β
③若l∥α，m⊂α，则l∥m      ④若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥β其中，真命题有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

6. 难度：中等

lgx，lgy，lgz成等差数列是由y²=zx成立的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．
B．3
C．4
D．6

8. 难度：中等

给出计算 的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（ ）
A．i＞10
B．i＜10
C．i＞20
D．i＜20

9. 难度：中等

如图，已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F恰好是双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点，且两条曲线交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为（ ）

A．
B．2
C．
D．

10. 难度：中等

已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且满足以下条件：①f（x）=a^x-g（x）（a＞0，且a≠1）；②g（x）≠0；③f（x）•g′（x）＞f′（x）•g（x）．若，则a等于（ ）
A．
B．2
C．
D．2或

二、填空题

11. 难度：中等

某班有学生52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知座位号分别为6，32，45的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的座位号应该是    ．

12. 难度：中等

如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积为    ．

13. 难度：中等

已知定义域为R的函数f（x）为奇函数，且满足f（x+2）=-f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2^x-1，则=    ．

14. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN切⊙O于A，∠MAB=25^•，则∠D=    ．

15. 难度：中等

极坐标方程分别为ρ=2cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，已知，且最长边的边长为l，
求：
（1）角C的大小；
（2）△ABC最短边的长．

17. 难度：中等

为预防H₁N₁病毒爆发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过），公司选定2000个流感样本分成三组，测试结果如下表：

	A组	B组	C组
疫苗有效	673	x	y
疫苗无效	77	90	z

 已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组疫苗有效的概率是0.33．
（Ⅰ）求x的值；
（Ⅱ）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取多少个？
（Ⅲ）已知y≥465，z≥30，求不能通过测试的概率．

18. 难度：中等

如图（1），C是直径AB=2的⊙O上一点，AD为⊙O的切线，A为切点，△ACD为等边三角形，连接DO交AC于E，以AC为折痕将△ACD翻折到图（2）的△ACP位置，点P为平面ABC外的点．
（1）求证异面直线AC和PO互相垂直；
（2）若F为PC上一点，且PF=2FC，PO=，求三棱锥P-AOF的体积．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）令，证明：．

20. 难度：中等

已知抛物线L：x²=2py（p＞0）和点M（2，2），若抛物线L上存在不同的两点A、B满足．
（1）求实数p的取值范围；
（2）当p=2时，抛物线L上是否存在异于A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x-kx，
（1）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；
（2）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；
（3）设函数F（x）=f（x）+f（-x），求证：F（1）F（2）…F（n）＞（n∈N⁺）．