2012-2013学年江苏省南京市宁海中学高二（上）期中数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

命题：“若x²＞1，则x＞1”的逆命题是    ．

2. 难度：中等

已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则¬p为    ．

3. 难度：中等

直线x+y-1=0与直线x+ay-2=0互相垂直，则实数a的值为    ．

4. 难度：中等

与直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程为    ．

5. 难度：中等

椭圆x²+my²=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为    ．

6. 难度：中等

已知平面上定点F₁、F₂及动点M．命题甲：“||MF₁|-|MF₂||=2a（a为常数）”；命题乙：“M点轨迹是F₁、F₂为焦点的双曲线”．则甲是乙的    条件．

7. 难度：中等

与单位圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有    条．

8. 难度：中等

双曲线3x²-y²=3的渐近线方程是    ．

9. 难度：中等

椭圆上一点P到左焦点的距离为，则P到左准线的距离为    ．

10. 难度：中等

双曲线=1（a＞b＞0）的焦点为F₁、F₂，弦AB过F₁且在双曲线的一支上，若|AF₂|+|BF₂|=2|AB|，则|AB|为    ．

11. 难度：中等

已知命题p：∃x∈R，x²+2ax+a≤0．若命题p是假命题，则实数a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，点P在双曲线的右支上，且|PF₁|=4|PF₂|，则此双曲线的离心率e的最大值为     ．

13. 难度：中等

有下列命题：
①若命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则命题“p∨q”是真命题；
②∃x∈R使得x²+x+2＜0；
③“直线a，b没有公共点”是“直线a，b为异面直线”的充分不必要条件；
④“a=-1”是“x+ay+6=0和（a-2）x+3y+2a=0平行”的充要条件；
其中正确命题的序号是    （把你认为正确的所有命题的序号都填上）

14. 难度：中等

设集合，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知c＞0，设命题p：不等式x²-2cx+c≥0解集为R；命题q：方程x²+2x+2c=0没有实根，如果命题p或q为真命题，p且q为假命题，求c的取值范围．

16. 难度：中等

椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，一条直线l经过点F₁与椭圆交于A，B两点．
（1）求△ABF₂的周长；
（2）若l的倾斜角为，求△ABF₂的面积．

17. 难度：中等

已知圆C在x轴上的截距为-1和3，在y轴上的一个截距为1．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若过点的直线l被圆C截得的弦AB的长为4，求直线l的倾斜角．

18. 难度：中等

已知双曲线过点（3，-2），且与椭圆4x²+9y²=36有相同的焦点．
（Ⅰ）求双曲线的标准方程；    
（Ⅱ）求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．

19. 难度：中等

已知圆C：x²+y²+Dx+Ey+3=0，圆C关于直线x+y-1=0对称，圆心在第二象限，半径为
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程．

20. 难度：中等

如图，椭圆（a＞b＞0）过点，其左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率，M，N是椭圆右准线上的两个动点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）求MN的最小值；
（3）以MN为直径的圆C是否过定点？请证明你的结论．