2012-2013学年江西师大附中高三（上）10月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合A={（x，y）|y=cosx，x∈R}，B={x|y=lnx}，则A∩B=（ ）
A．{x|-1≤x≤1}
B．{x|x≥0}
C．{x|0＜x≤1}
D．∅

2. 难度：中等

已知复数z，映射f：z→zi，则2+3i的原象是（ ）
A．3-2i
B．2-3i
C．3+2i
D．2+3i

3. 难度：中等

已知a，b∈R，则“log₃a＞log₃b”是“（）^a＜（）^b”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

命题“”的否定是（ ）
A．
B．
C．∀x∈R，x²+ax+1＞0成立
D．∀x∈R，x²+ax+1≥0成立

5. 难度：中等

已知函数f（x）=sinωx+cosωx，x∈R，f（α）=-2，f（β）=2，且|α-β|的最小值等于，则正数ω的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知A，B，C三点的坐标分别是A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），，若，则的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．3

7. 难度：中等

如图，正方形ABCD的顶点，，顶点C，D位于第一象限，直线t：x=t（0≤t≤）将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f（t），则函数s=f（t）的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知函数和函数，若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．[1，2）
C．
D．

9. 难度：中等

已知y=f（x）为R上的可导函数，当x≠0时，，则关于x的函数的零点个数为（ ）
A．1
B．2
C．0
D．0或 2

10. 难度：中等

已知y=f（x）是偶函数，而y=f（x+1）是奇函数，且对任意0≤x≤1，都有f′（x）≥0，则的大小关系是（ ）
A．c＜a＜b
B．c＜b＜a
C．a＜c＜b
D．a＜b＜c

二、填空题

11. 难度：中等

如图，在一个长为π，宽为1的矩形OABC内，曲线y=sinx，（0≤x≤π）与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一个点（该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率为    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，则角B的值为   

13. 难度：中等

若均为单位向量，且，，则的最大值为    ．

14. 难度：中等

函数f（x）的定义域为D，若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≤f（x₂），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）为定义在[0，1]上的非减函数，且满足以下三个条件：
①f（0）=0；②f（1-x）+f（x）=1x∈[0，1]； ③当时，恒成立．则=    ．

15. 难度：中等

关于x的方程（x²-4）²-4|x²-4|+k=0，给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数k，使得方程恰有6个不同的实根；
⑤存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根．
其中真命题的序号是    （写出所有真命题的序号）．

三、解答题

16. 难度：中等

设函数．
（Ⅰ）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值是x的集合；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若．求a的最小值．

17. 难度：中等

师大附中高三年级学生为了庆祝第28个教师节，同学们为老师制作了一大批同一种规格的手工艺品，这种工艺品有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响，若A项技术指标达标的概率为项技术指标达标的概率为，按质量检验规定：两项技术指标都达标的工艺品为合格品．
（1）求一个工艺品经过检测至少一项技术指标达标的概率；
（2）任意依次抽取该工艺品4个，设ξ表示其中合格品的个数，求ξ的分布列及Eξ．

18. 难度：中等

已知等比数列{a_n}满足2a₁+a₃=3a₂，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若，S_n=b₁+b₂+…b_n，求使  成立的正整数n的最小值．

19. 难度：中等

如图边长为4的正方形ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直，M、Q分别为PC，AD的中点．
（1）求证：PA∥平面MBD；
（2）求：二面角P-BD-A的余弦值；
（3）试问：在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知抛物线x²=4y的焦点是椭圆 一个顶点，椭圆C的离心率为，另有一圆O圆心在坐标原点，半径为．
（1）求椭圆C和圆O的方程；
（2）已知M（x，y）是圆O上任意一点，过M点作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个公共点，求证：l₁⊥l₂．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx，g（x）=（a为实常数）
（1）当a=1时，求函数φ（x）=f（x）-g（x）在x∈[4，+∞）上的最小值；
（2）若方程e^2f（x）=g（x）（其中e=2.71828…）在区间[，1]上有解，求实数a的取值范围；
（3）证明：（参考数据：ln2≈0.6931）