2012-2013学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）10月月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

全集U=R，集合A={x|x²-4≤0}，集合B={x|2^x-1＞1}，则A∩B=（ ）
A．[1，2]
B．（1，2]
C．[1，2）
D．（-∞，2]

2. 难度：中等

已知角α是第二象限角，角α的终边经过点P（x，4），且，则tanα=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知tanα=-2，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．-5

5. 难度：中等

已知p：α为第二象限角，q：sinα＞cosα，则p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c
B．b＜c＜a
C．a＜c＜b
D．c＜b＜a

7. 难度：中等

在△ABC中，若a=2bcosC，则△ABC一定是（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形

8. 难度：中等

如图，△ABC为等腰三角形，∠A=∠B=30°，设，，AC边上的高为BD．若用表示，则表达式为（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（ ）
A．向右平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向左平移个长度单位

10. 难度：中等

已知，为互相垂直的单位向量，向量=+2，=+，且与+λ的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（x+1）为奇函数，f（0）=0，当x∈（0，1]时，f（x）=log₂x，则在（8，10）内满足方程f（x）+1=f（1）的实数x为（ ）
A．
B．9
C．
D．

12. 难度：中等

下列命题中，真命题的个数为（ ）
（1）在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB；
（2）已知，则在上的投影为-2；
（3）已知p：∃x∈R，cosx=1，q：∀x∈R，x²-x+1＞0，则“p∧￢q”为假命题；
（4）已知函数（ω＞0）的导函数的最大值为3，则函数f（x）的图象关于对称．
A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

13. 难度：中等

已知向量=（2，-1），=（x，-2），=（3，y），若∥，（+）⊥（-），则x+y的值为    ．

14. 难度：中等

已知，且，则sinα=    ．

15. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，则c=    ．

16. 难度：中等

定义运算，设函数f（x）=（2x+1）*（x+1），且关于x的方程f（x）=m恰有三个互不相等的实数根x₁，x₂，x₃，则x₁x₂x₃的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期，并求其单调递增区间；
（Ⅱ）当时，求f（x）的值域．

18. 难度：中等

已知O为坐标原点，点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），且0＜α＜π．
（Ⅰ）若，求tanα的值；
（Ⅱ）若，求与的夹角．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+2lnx+（a-6）x在（1，+∞）上为单调递增函数．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若g（x）=e^2x-2ae^x+a，x∈[0，ln3]，求g（x）的最小值．

20. 难度：中等

在△ABC中，设角A，B，C的对边分别是a，b，c，∠C=60°，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求△ABC的面积．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x，函数g（x）的图象与f（x）的图象关于直线y=x对称，h（x）=kx+b．
（Ⅰ）当b=0时，若对∀x∈（0，+∞）均有f（x）≥h（x）≥g（x）成立，求实数k的取值范围；
（Ⅱ）设h（x）的图象与f（x）的图象和g（x）的图象均相切，切点分别为和（x₂，g（x₂）），其中x₁＞0．
（1）求证：x₁＞1＞x₂；
（2）若当x≥x₁时，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．

22. 难度：中等

如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点P，CE=BE，点E在BC上．求证：PE是⊙O的切线．

23. 难度：中等

（选修4-4：坐标系与参数方程）曲线C₁：（θ为参数），在曲线C₁上求一点，使它到直线C₂：（t为参数）的距离最小，并求出该点坐标和最小距离．

24. 难度：中等

已知函数f（x）=|x-3|+|x-4|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集；
（Ⅱ）如果f（x）≤a的解集不是空集，求实数a的取值范围．