2012-2013学年辽宁省五校协作体高三（上）期初数学试卷 （理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设非空集合P、Q满足P⊆Q，则（ ）
A．∀x∈Q，有x∈P
B．∀x∈P，有x∈Q
C．∃x∉Q，使得x∈P
D．∃x∈P，使得x∉Q

2. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，若公比q＞1，且a₃a₇=16，a₄+a₆=10，则a₃=（ ）
A．±1
B．±2
C．2
D．1

3. 难度：中等

在空间中，下列命题正确的是（ ）
A．平面α内的一条直线a垂直与平面β内的无数条直线，则α⊥β
B．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥α
C．若平面α⊥β，且α∩β=l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β
D．若直线a与平面α内的无数条直线都垂直，则不能说一定有a⊥α．

4. 难度：中等

约束条件为，目标函数Z=2x-y，则Z的最大值是（ ）
A．-4
B．4
C．-5
D．5

5. 难度：中等

下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（ ）
A．
B．y=log₂（x-1）
C．
D．

6. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₅=30，a₁₀=5，则的展开式中的常数项是该数列的（ ）
A．第9项
B．第8项
C．第7项
D．第6项

7. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度

8. 难度：中等

双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是双曲线上一点，PF₁的中点在y轴上，线段PF₂的长为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

由直线y=1与曲线y=x²所围成的封闭图形的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，从顶点C出发，在∠ACB内等可能地引射线CD交线段AB于点D，则的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知向量 且与的夹角为锐角，则k的取值范围是 （ ）
A．（-2，+∞）
B．
C．（-∞，-2）
D．（-2，2）

12. 难度：中等

函数y=sin|x|+ln|x|的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

二、填空题

13. 难度：中等

=    ．

14. 难度：中等

阅读如图所示的程序框图，输出的结果S的值为    ．

15. 难度：中等

如图，是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为    ．

16. 难度：中等

设函数y=f（x），满足，对一切x∈R都成立，又知当（1，3]时，f（x）=2^-x，则f（2013）=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=2，，B=60°．
（I）求c及△ABC的面积S；
（II）求sin（2A+C）．

18. 难度：中等

如图所示，在直角梯形ABCD中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2．E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD．
（1）求证：AP∥平面EFG；
（2）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，试给出证明．

19. 难度：中等

甲乙两名射手互不影响地进行射击训练，根据以往的数据统计，他们设计成绩的分布列如下：

甲				乙
环数	8	9	10	环数	8	9	10
概率				概率

（1）若甲乙两射手各射击两次，求四次射击中恰有三次命中10环的概率．
（2）若两个射手各射击1次，记所得的环数之和为ξ，求ξ的分布列和期望．

20. 难度：中等

设椭圆C：的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，过点A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若过A、Q、F₂三点的圆恰好与直线l：相切，求椭圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，过右焦点F₂作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．
．

21. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）若，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若对任意的x∈（1，3），都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．

22. 难度：中等

如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE∥AC，BE交CD于E、交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．
（I）求AC的长；
（II）求证：BE=EF．

23. 难度：中等

已知直线l的参数方程是（t是参数），圆C的极坐标方程为．
（I）求圆心C的直角坐标；
（II）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．

24. 难度：中等

对于任意的实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-b|≥M•|a|恒成立，记实数M的最大值是m．
（1）求m的值；
（2）解不等式|x-1|+|x-2|≤m．