2012-2013学年江西省南昌二中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若tanα=2，tan（β-α）=3，则tan（β-2α）的值为（ ）
A．
B．-
C．
D．-

2. 难度：中等

若复数（a∈R，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．-2
B．4
C．-6
D．6

3. 难度：中等

用数学归纳法证明1+2+3+…+n²=，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上（ ）
A．k²+1
B．（k+1）²
C．
D．（k²+1）+（k²+2）+（k²+3）+…+（k+1）²

4. 难度：中等

已知实数a满足1＜a＜2．
命题P：函数y=log_a（2-ax）在区间[0，1]上是减函数，
命题Q：|x|＜1是x＜a的充分不必要条件，则（ ）
A．“P或Q”为真命题
B．“P且Q”为假命题
C．“^┐P且Q”为真命题
D．“^┐P或^┐Q”为真命题

5. 难度：中等

等边三角形ABC的边长为1，如果，，，那么等于（ ）
A．-
B．
C．-
D．

6. 难度：中等

若{a_n}为等差数列，S_n是其前n项和，且，则tana₆的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

函数y=cos（2x）定义域为[a，b]，值域为[-]，则b-a的最大值与最小值之和为（ ）
A．2π
B．π
C．
D．

8. 难度：中等

下列计算错误的是（ ）
A．∫_-π^πsinxdx=0
B．∫¹=
C．cosxdx=2cosxd
D．∫_-π^πsin²xdx=0

9. 难度：中等

已知向量=（a_n，2），=（a_n+1，）且a₁=1，若数列{a_n}的前n项和为S_n，且，则S_n=（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+2bx²+cx+1有两个极值点x₁、x₂，且x₁∈[-2，-1]，x₂∈[1，2]，则f（-1）的取值范围是（ ）
A．，3]
B．，6]
C．[3，12]
D．，12]

二、填空题

11. 难度：中等

已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=3x²+2xf′（2），则=    ．

12. 难度：中等

当时，函数的最小值为     ．

13. 难度：中等

已知向量，    ．

14. 难度：中等

对于任意实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-b|≥|a||x-1|恒成立，则实数x的取值范围是    ．

15. 难度：中等

若{b_n}是等比数列，m、n、p是互不相等的正整数，则有正确的结论：．类比上述性质，相应地，若{a_n}是等差数列，m、n、p是互不相等的正整数，则有正确的结论：    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知公差不为零的等差数列{a_n}的前4项和为10，且a₂，a₃，a₇成等比数列．
（Ⅰ）求通项公式a_n
（Ⅱ）设b_n=，求数列{b_n}的前n项和S_n．

17. 难度：中等

已知函数，其中m为实常数．
（1）当时，求不等式f（x）＜x的解集；
（2）当m变化时，讨论关于x的不等式的解集．

18. 难度：中等

已知f（x）=-sinωxcosωx+cos²ωx-的周期为2π
（I）求f（x）的最大值以及取最大值时x的集合
（II）已知f（α）=，且α∈（0，），求cos（）

19. 难度：中等

在锐角三解形ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若sinA=8cosBcosC
（I）求tanB+tanC的值；
（II）若a=3，求△ABC面积的最大值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+ax-lnx，a∈R．
（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；
（2）令g（x）=f（x）-x²，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存 在，求出a的值；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

已知，．数列a_n满足．
（Ⅰ）证明：0＜a_n＜a_n+1＜1；
（Ⅱ）已知≥，证明：；
（Ⅲ）设T_n是数列a_n的前n项和，判断T_n与n-3的大小，并说明理由．．