2012-2013学年安徽省六安三中高二（上）国庆中秋假期每日一测数学试卷3（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

给出两个命题：p：|x|=x的充要条件是x为正实数；q：存在反函数的函数一定是单调函数．则下列复合命题中的真命题是（ ）
A．p且q
B．p或q
C．￢p且q
D．￢p或q

2. 难度：中等

给出下列命题：
；
；
；

④⇒b⊥α．
其中正确的判断是（ ）
A．①④
B．①②
C．②③
D．①②④

3. 难度：中等

抛物线y=ax²（a＜0）的焦点坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”，如（1101）₂表示二进制数，将它转换成十进制形式是1×2³+1×2²+0×2¹+1×2=13，那么将二进制数转换成十进制形式是（ ）
A．2¹⁷-2
B．2¹⁶-2
C．2¹⁶-1
D．2¹⁵-1

5. 难度：中等

已知f（cosx）=cos2x，则f（sin30°）的值等于（ ）
A．
B．-
C．0
D．1

6. 难度：中等

已知y=f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=x+，当x∈[-3，-1]时，记f（x）的最大值为m，最小值为n，则m-n等于（ ）
A．2
B．1
C．3
D．

7. 难度：中等

某村有旱地与水田若干亩，现在需要估计平均亩产量，用按5%比例分层抽样的方法抽取了15亩旱地、45亩水田进行调查，则这个村的旱地与水田的亩数分别为（ ）
A．150，450
B．300，900
C．600，600
D．75，225

8. 难度：中等

已知两点A（-1，0），B（0，2），点P是椭圆=1上的动点，则△PAB面积的最大值为（ ）
A．4+
B．4+
C．2+
D．2+

9. 难度：中等

设向量，则下列为与共线的充要条件的有（ ）
①存在一个实数λ，使得或；  ②；
③；                            ④．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

10. 难度：中等

如图，点P是球O的直径AB上的动点，PA=x，过点P且与AB垂直的截面面积记为y，则y=f（x）的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有（ ）
A．种
B．10种
C．8种
D．16种

12. 难度：中等

已知F₁、F₂分别是双曲线-=1的左、右焦点，过F₁且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF₂为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A．（1，+∞）
B．（1，）
C．（1，1+）
D．（1+，+∞）

二、填空题

13. 难度：中等

方程log₂|x|=x²-2的实根的个数为    ．

14. 难度：中等

1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C₆₀有重大贡献的三位科学家．C₆₀是由60个C原子组成的分子，它结构为简单多面体形状．这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分为五边形或六边形两种，则C₆₀分子中形状为五边形的面有    个，形状为六边形的面有    个．

15. 难度：中等

在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，两球的球心距为13，若作一个平面与两个球都相切，且与圆柱面相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为    ．

16. 难度：中等

定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函数，给出下列关于f（x）的判断：
①f（x）是周期函数；
②f（x）关于直线x=1对称；
③f（x）在[0，1]上是增函数；
④f（x）在[1，2]上是减函数；
⑤f（2）=f（0），
其中正确的序号是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

袋内装有35个球，每个球上都记有从1到35的一个号码，设号码n的球重-5n+15克，这些球以等可能性从袋里取出（不受重量、号码的影响）．
（1）如果任意取出1球，试求其重量大于号码数的概率；
（2）如果任意取出2球，试求它们重量相等的概率．

18. 难度：中等

如图所示，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长均为2，侧棱B₁B与底面ABC所成的角为，且侧面ABB₁A₁垂直于底面ABC．
（1）证明AB⊥CB₁；
（2）求三棱锥B₁-ABC的体积；
（3）求二面角C-AB₁-B的大小．

19. 难度：中等

如图为河岸一段的示意图．一游泳者站在河岸的A点处，欲前往对岸的C点处，若河宽BC为100m，A、B相距100m，他希望尽快到达C，准备从A步行到E（E为河岸AB上的点），再从E游到C．已知此人步行速度为v，游泳速度为0.5v．
（1）设∠BEC=θ，试将此人按上述路线从A到C所需时间T表示为θ的函数，并求自变量θ的取值范围；
（2）当θ为何值时，此人从A经E游到C所需时间T最小，其最小值是多少？

20. 难度：中等

已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，点P在双曲线的右支上，且|PF₁|=3|PF₂|．
（1）求离心率的最值，并写出此时双曲线的渐近线方程．
（2）若点P的坐标为（，±）时，，求双曲线方程．

21. 难度：中等

设一次函数f（x）的图象关于直线y=x对称的图象为C，且f（-1）=0．若点（n+1，）（n∈N^*）在曲线C上，并且a₁=a₂=1．
（1）求曲线C的方程；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设S_n=，求S_n．

22. 难度：中等

已知f（x）=x³+bx+cx+d在（-∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程f（x）=0有三个根，它们分别为α，2，β．
（1）求c的值；
（2）求证f（1）≥2；
（3）求|α-β|的取值范围．