2011-2012学年湖南师大附中高三第一次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x²-2x-3＞0}，B={x|2^x-1＞1}，则A∩B=（ ）
A．{x|x＞3}
B．{x|x＞1}
C．{x|x＜-1}
D．{x|-1＜x＜1}

2. 难度：中等

下列命题错误的是（ ）
A．命题“若xy=0，则x，y中至少有一个为零”的否定是：“若xy≠0，则x，y都不为零”
B．对于命题p：∃x∈R，使得x²+x+1＜0；则¬p：∀x∈R，均有x²+x+1≥0
C．命题“若m＞0，则方程x²+x-m=0有实根”的逆否命题为“若方程x²+x-m=0无实根，则m≤0
D．“x=1”是“x²-3x+2=0”的充分不必要条件

3. 难度：中等

设向量，满足：||=1，||=2，•（+）=0，则与的夹角是（ ）
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°

4. 难度：中等

一个多面体的三视图分别为正方形、等腰三角形和矩形，如图所示，则该多面体的体积为（ ）
A．24cm³
B．48cm³
C．32cm³
D．28cm³

5. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上的周期函数，其最小正周期为2，且当x∈[-1，1）时，f（x）=|x|则函数y=f（x）的图象与函数y=log₄x的图象的交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8

6. 难度：中等

已知定义域为R的函数f（x）在（8，+∞）上为减函数，且函数y=f（x+8）函数为偶函数，则（ ）
A．f（6）＞f（7）
B．f（6）＞f（9）
C．f（7）＞f（9）
D．f（7）＞f（10）

7. 难度：中等

f（x）=x²-2x，g（x）=ax+2（a＞0），若对任意的x₁∈[-1，2]，存在x∈[-1，2]，使g（x₁）=f（x），则a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．[3，+∞）
D．（0，3]

8. 难度：中等

给出下列命题：①存在实数x，使得；②函数y=sinx的图象向右平移个单位，得到的图象；③函数是偶函数；④已知α，β是锐角三角形ABC的两个内角，则sinα＞cosβ．其中正确的命题的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

二、填空题

9. 难度：中等

已知复数z=（2m²+3m-2）+（m²+m-2）i，（m∈R）为纯虚数，则m=    ．

10. 难度：中等

已知函数y=在区间（]上是增函数，则实数a的取值范围是    ．

11. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上的函数，给出下列两个命题：
p：若f（x₁）=f（x₂），（x₁≠x₂），则x₁+x₂=4．
q：若x₁，x₂∈（-∞，2]（x₁≠x₂），则
则使命题“p且q”为真命题的函数f（x）可以是    ．

12. 难度：中等

随机地向区域内投点，点落在区域的每个位置是等可能的，则坐标原点与该点连线的倾斜角小于的概率为    ．

13. 难度：中等

平面上的向量，若向量的
最大为    ．

14. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）如图，CD是圆O的切线，切点为C，点B在圆O上，BC=2，∠BCD=30°，则圆O的面积为    ．

15. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）若曲线为参数）与曲线：（θ为参数）相交于A，B两点，则|AB|=    ．

16. 难度：中等

若不等式＞|a-2|+1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数f（x）=2sin²（），x∈R．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

18. 难度：中等

甲、乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或下满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p（p＞），且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为．
（1）求p的值；
（2）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．

19. 难度：中等

如图，△PAB是边长为2的正三角形，四边形ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，设BC=a．
（1）若a=，求直线PC与平面ABCD所成的角；
（2）设M为AD的中点，求当a为何值时，PM⊥CM？

20. 难度：中等

某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a（3≤a≤5）元的管理费，预计当每件产品的售价为x（9≤x≤11）元时，一年的销售量为（12-x）²万件．
（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；
（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a₁=3，，n∈N*．
（1）证明数列为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n（a_n+1-2），数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：S_n＜2；
（3）设c_n=n²（a_n-2），求c_nc_n+1的最大值．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=aln（1+e^x）-（a+1）x．
（1）已知f（x）满足下面两个条件，求a的取值范围．
①在（-∞，1]上存在极值，
②对于任意的θ∈R，c∈R直线l：xsinθ+2y+c=0都不是函数y=f（x）（x∈（-1，+∞））图象的切线；
（2）若点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃））从左到右依次是函数y=f（x）图象上三点，且2x₂=x₁+x₃，当a＞0时，△ABC能否是等腰三角形？若能，求△ABC面积的最大值；若不能，请说明理由．