2011-2012学年广东省中山一中高三（上）第二次统测数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为（ ）
A．0
B．6
C．12
D．18

2. 难度：中等

若点（a，9）在函数y=3^x的图象上，则tan的值为（ ）
A．0
B．
C．1
D．

3. 难度：中等

已知x₁，x₂是二次方程f（x）的两个不同实根，x₃，x₄是二次方程g（x）=0的两个不同实根，若g（x₁）g（x₂）＜0，则（ ）
A．x₁，x₂介于x₃和x₄之间
B．x₃，x₄介于x₁和x₂之间
C．x₁与x₂相邻，x₃与x₄相邻
D．x₁，x₂与x₃，x₄相间相列

4. 难度：中等

若f（sinx）=2-cos2x，则f（cosx）等于（ ）
A．2-sin2
B．2+sin2
C．2-cos2
D．2+cos2

5. 难度：中等

设函数f（x）与g（x）的定义域是{x∈R|x≠±1}，函数f（x）是一个偶函数，g（x）是一个奇函数，且，则f（x）等于（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

如下四个函数，其中既是奇函数，又在（-∞，0）是增函数的是（ ）
A．y=-x+1
B．y=-x³
C．
D．

7. 难度：中等

下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（ ）
A．a＞b+1
B．a＞b-1
C．a²＞b²
D．a³＞b³

8. 难度：中等

若函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=（ ）
A．
B．
C．2
D．3

二、填空题

9. 难度：中等

已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=    ．

10. 难度：中等

设S_n为等差数列{a_n}的前n项和，若a₁=1，公差d=2，S_k+2-S_k=24，则k=    ．

11. 难度：中等

若=9，则a=    ．

12. 难度：中等

若f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，，则=    ．

三、解答题

13. 难度：中等

已知函数，试求的值

四、填空题

14. 难度：中等

函数y=log₂（x²-4x）的单调递增区间是    ．

五、解答题

15. 难度：中等

已知命题p：不等式a²-5a-3≥3恒成立，命题q：不等式x²+ax+2＜0有解；若p为真命题，q为假命题，求a的取值范围．

16. 难度：中等

已知向量与互相垂直，其中．
（1）求sinθ和cosθ的值；
（2）若，求cosφ的值．

17. 难度：中等

在△ABC中，BC=2，AB+AC=3，中线AD的长为y，AB的长为x，
（1）建立y与x的函数关系式，并指出其定义域．
（2）求y的最小值，并指出x的值．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，前 n 项和为S_n，且点（a_n，a_n+1）在直线x-y+1=0上．计算+++…+．

19. 难度：中等

设函数f（x）=tx²+2t²x+t-1（x∈R，t＞0）．
（I）求f （x）的最小值h（t）；
（II）若h（t）＜-2t+m对t∈（0，2）恒成立，求实数m的取值范围．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=elnx，g（x）=e^-1•f（x）-（x+1）．（e=2.718…）
（1）求函数g（x）的极大值；
（2 ）求证：；
（3）对于函数f（x）与h（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，b，使得f（x）≤kx+b和h（x）≥kx+b都成立，则称直线y=kx+b为函数f（x）与h（x）的“分界线”．设函数，试探究函数f（x）与h（x）是否存在“分界线”？若存在，请加以证明，并求出k，b的值；若不存在，请说明理由．