2011-2012学年河北省衡水中学高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知变量a，b已被赋值，要交换a、b的值，应采用的算法是（ ）
A．a=b，b=a
B．a=c，b=a，c=b
C．a=c，b=a，c=a
D．c=a，a=b，b=c

2. 难度：中等

“ab＜0”是“方程ax²+by²=c表示双曲线”的（ ）
A．必要条件但不是充分条件
B．充分条件但不是必要条件
C．充分必要条件
D．既不是充分条件，又不是必要条件

3. 难度：中等

甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p₁，乙解决这个问题的概率是p₂，那么恰好有1人解决这个问题的概率是（ ）
A．p₁p₂
B．p₁（1-p₂）+p₂（1-p₁）
C．1-p₁p₂
D．1-（1-p₁）（1-p₂）

4. 难度：中等

如果随机变量ξ～N（μ，σ²），且Eξ=3，Dξ=1，那么P（2＜ξ≤4）等于（ ）（其中N（μ，σ²）在（μ-σ，μ+σ）内的取值概率为0.683；在（μ-2σ，μ+2σ）内的取值概率为0.954；在（μ-3σ，μ+3σ）内的取值概率为0.997）
A．0.5
B．0.683
C．0.954
D．0.997

5. 难度：中等

若=a+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴，则（a+a₂+a₄）²-（a₁+a₃）²的值是（ ）
A．1
B．-1
C．0
D．2

6. 难度：中等

某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若ξ表示取到次品的个数，则Eξ等于（ ）
A．
B．
C．
D．1

8. 难度：中等

从图中的12个点中任取3个点作为一组，其中可构成三角形的组数是（ ）
A．208
B．204
C．200
D．196

9. 难度：中等

20名学生，任意分成甲、乙两组，每组10人，其中2名学生干部恰好被分在不同组内的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

空间6个点，任意四点都不共面，过其中任意两点均有一条直线，则成为异面直线的对数为（ ）
A．15
B．30
C．45
D．60

11. 难度：中等

一块各面均涂有油漆的正方体被据成1 000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个，其两面涂有油漆的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

椭圆的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A．在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．（0，]
B．（0，]
C．[，1）
D．[，1）

二、填空题

13. 难度：中等

设a，b∈（0，1），则关于x的方程x²+2ax+b=0在（-∞，∞）上有两个不同的零点的概率为    ．

14. 难度：中等

已知数据x₁，x₂，…，x_n的平均数，方差S²=4则数据3x₁+7，3x₂+7，…，3x_n+7的标准差为    ．

15. 难度：中等

从1，2，3，…，20这20个自然数中，每次任取3个数，若其和是大于10的偶数，则这样的数组有    个．

16. 难度：中等

已知椭圆，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与C相交于A、B两点，若=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

从4名男生，3名女生中选出三名代表，
（1）不同的选法共有多少种？
（2）至少有一名女生的不同的选法共有多少种？
（3）代表中男、女生都有的不同的选法共有多少种？

18. 难度：中等

已知的展开式的各项系数之和等于展开式中的常数项，求展开式中含a^-1的项的二项式系数．

19. 难度：中等

某电视机生产厂家今年推出A、B、C、D四种款式电视机，每种款式电视机的外观均有黑色、银白色两种．四月份的电视机产量如下表（单位：台）：

	款式A	款式B	款式C	款式D
黑  色	150	200	200	X
银白色	160	180	200	150

若按电视机的款式采取分层抽样的方法在这个月生产的电视机中抽取70台，其中有C种款式的电视机20台．
（1）求x的值．
（2）若在C种款式电视机中按颜色进行分层抽样抽取一个容量为6的样本，然后将该样本看成一个总体，从中任取2台，求恰有1台黑色、1台银白色电视机的概率．
（3）用简单随机抽样的方法从A种款式电视机中抽取10台，对其进行检测，它们的得分如下：94，92，92，96，97，95，98，90，94，97．如果把这10台电视机的得分看作一个样本，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过2的概率．

20. 难度：中等

某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选．
（1）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；
（2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．

21. 难度：中等

将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是．
（Ⅰ）求小球落入A袋中的概率P（A）；
（Ⅱ）在容器入口处依次放入4个小球，记X为落入A袋中小球的个数，试求X=3的概率和X的数学期望EX．

22. 难度：中等

如图，已知椭圆焦点为F₁、F₂，双曲线G：x²-y²=4，设P是双曲线G上异于顶点的任一点，直线PF₁、PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D．
（1）设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁和k₂，求k₁•k₂的值；
（2）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．