2011-2012学年福建师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则（ ）
A．¬p：∃x∈R，sinx≥1
B．¬p：∀x∈R，sinx≥1
C．¬p：∃x∈R，sinx＞1
D．¬p：∀x∈R，sinx＞1

2. 难度：中等

抛物线x²=y的准线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

函数f（x）=sinxcosx的最小值是（ ）
A．-1
B．-
C．
D．1

4. 难度：中等

等差数列{a_n}中，若a₂+a₈=15-a₅，则a₅等于（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

5. 难度：中等

“a＞1”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

抛物线y²=4x上一点M到准线的距离为3，则点M的横坐标x为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

7. 难度：中等

函数y=sin（2x+）图象的对称轴方程可能是（ ）
A．x=-
B．x=-
C．x=
D．x=

8. 难度：中等

在同一坐标系中，方程a²x²+b²y²=1与ax+by²=0（a＞b＞0）的曲线大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

椭圆=1的焦点为F₁，点P在椭圆上，如果线段PF₁的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是（ ）
A．±
B．±
C．±
D．±

10. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-2x+5，x∈[2，4]，若存在实数x∈[2，4]使m-f（x）＞0成立，则m的取值范围为（ ）
A．（5，+∞）
B．（13，+∞）
C．（4，+∞）
D．（-∞，13）

11. 难度：中等

双曲线=1和椭圆=1（a＞0，m＞b＞0）的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形

12. 难度：中等

椭圆上有n个不同的点：P₁，P₂，…，P_n，椭圆的右焦点为F，数列|P_nF|是公差不小于的等差数列，则n的最大值是（ ）
A．198
B．199
C．200
D．201

二、填空题

13. 难度：中等

双曲线的焦点坐标为    ．

14. 难度：中等

已知椭圆的中心为原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

如图，抛物线形拱桥的顶点距水面2米时，测得拱桥内水面宽为12米，当水面升高1米后，拱桥内水面宽度是多少米？

四、填空题

16. 难度：中等

已知P（x，y）是抛物线y²=-8x的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形平面区域内（含边界）的任意一点，则z=2x-y的最大值为    ．

五、解答题

17. 难度：中等

已知函数f（x）=sinx+sin（x+），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的最大值和最小值；
（3）若f（α）=，求sin 2α的值．

18. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知．
（1）求sinB的值；
（2）求c的值．

19. 难度：中等

已知椭圆的两焦点为F₁（-1，0）、F₂（1，0），P为椭圆上一点，且|F₁F₂|是|PF₁|与|PF₂|的等差中项．
（1）求此椭圆方程；
（2）若点P满足∠F₁PF₂=120°，求△PF₁F₂的面积．

20. 难度：中等

等差数列{a_n}的公差d不为零，首项a₁=1，a₂是a₁和a₅的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n
（2）证明数列为等比数列；
（3）求数列的前n项和T_n．

21. 难度：中等

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（1，），且长轴长等于4．
（I）求椭圆C的方程；
（II）F₁，F₂是椭圆C的两个焦点，⊙O是以F₁，F₂为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若•=-，求k的值．

22. 难度：中等

如图，直线l₁和l₂相交于点M且l₁⊥l₂，点N∈l₁．以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l₂的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，，|AN|=3，且|BN|=6．
（1）曲线段C是哪类圆锥曲线的一部分？并建立适当的坐标系，求曲线段C所在的圆锥曲线的标准方程；
（2）在（1）所建的坐标系下，已知点P（m，n）在曲线段C上，直线l：mx+ny=1，求直线l被圆x²+y²=1截得的弦长的取值范围．