2003-2004学年广东省广州市黄埔区高二数学竞赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

满足条件M∪{1}={1，2，3}的集合M的个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

2. 难度：中等

在直角三角形中两锐角为A和B，则sinAsinB（ ）
A．有最大值和最小值0
B．既无最大值也无最小值
C．有最大值，但无最小值
D．有最大值1，但无最小值

3. 难度：中等

已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a²＞b²
B．lna＞lnb
C．
D．＞

4. 难度：中等

若是两个非零向量，则（）²=是的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分且必要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-5，则|a₁|+|a₂|+…+|a₁₀|=（ ）
A．68
B．65
C．60
D．56

6. 难度：中等

方程=的解集是（ ）
A．（-1，0）∪（3，+∞）
B．（-1，0]∪[3，+∞）
C．（-∞，-1）∪（0，3）
D．（-∞，-1）∪[0，3]

7. 难度：中等

已知直线l₁，l₂关于直线y=x对称，且l₁：y=ax+b（ab≠0），则l₂的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知cos（α-β）=，sinβ=-，且α∈（0，），β∈（-，0），则sinα=（ ）
A．
B．
C．-
D．-

9. 难度：中等

已知x、y满足，则z=x+y的最大值为（ ）
A．
B．4
C．1
D．2

10. 难度：中等

计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”，如（1101）₂表示二进制数，将它转换成十进制形式是1×2³+1×2²+0×2¹+1×2=13，那么将二进制数转换成十进制形式是（ ）
A．2¹⁷-2
B．2¹⁶-2
C．2¹⁶-1
D．2¹⁵-1

二、填空题

11. 难度：中等

等比数列{a_n}中，a₄+a₆=3，则a₅（a₃+2a₅+a₇）=    ．

12. 难度：中等

已知则满足的x值为     ．

13. 难度：中等

已知椭圆的左焦点是F₁，右焦点是F₂，点P在椭圆上，如果线段PF₁的中点在y轴上，那么|PF₁|：|PF₂|=    ．

14. 难度：中等

已知两个圆：x²+y²=1 ①；x²+（y-3）²=1 ②，则由①式减去②式可得上述两个圆的对称轴方程．将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

解关于x的不等式：．

16. 难度：中等

已知向量=（x，x-4），向量=（x，x），x∈[-4，5]
（Ⅰ）试用x表示•；    
（Ⅱ）求•的最大值，并求此时的cos＜、＞．（＜、＞表示两向量的夹角）

17. 难度：中等

已知点P到两定点M（-1，0）、N（1，0）距离的比为，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程．

18. 难度：中等

某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1000个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本．若每个蛋糕成本增加的百分率为x （0＜x＜1），则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x，已知日利润=（出厂价-成本）×日销售量，且设增加成本后的日利润为y．
（Ⅰ）写出y与x的关系式；
（Ⅱ）为使日利润有所增加，问x应在什么范围内？

19. 难度：中等

已知f（x）=．是否存在实数p、q、m，使f（x）同时满足下列三个条件：
①定义域为R的奇函数；
②在[1，+∞）上是减函数；
③最小值是-1．若存在，求出p、q、m；若不存在，说明理由．

20. 难度：中等

已知某椭圆的焦点是F₁（-4，0）、F₂（4，0），过点F₂，并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F₁B|+|F₂B|=10．椭圆上不同的两点A（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）满足条件：|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差数列．
（1）求该椭圆的方程；
（2）求弦AC中点的横坐标；
（3）设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围．