2011-2012学年浙江省杭州地区七校联考高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x||x-1|＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∩B=（ ）
A．{x|-1＜x＜3}
B．{x|0＜x＜3}
C．{x|-1＜x＜2}
D．{x|2＜x＜3}

2. 难度：中等

sinA|=|sinB|是sin（A+B）=0的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要

3. 难度：中等

公差不为零的等差数列{a_n}中，a₁+a₂+a₅=13，且a₁、a₂、a₅成等比数列，则数列{a_n}的公差等于（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

4. 难度：中等

若，则tanα=（ ）
A．
B．2
C．
D．-2

5. 难度：中等

下列命题中是假命题的是（ ）
A．∃m∈{R}，使f（x）=（m-1）•是幂函数，且在（0，+∞）上递减
B．∀a＞0，函数f（x）=ln²x+lnx-a有零点
C．∃α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+sinβ
D．∀φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数

6. 难度：中等

定义在R上的可导函数f（x）=x²+2xf′（2）+15，在闭区间[0，m]上有最大值15，最小值-1，则m的取值范围是（ ）
A．m≥2
B．2≤m≤4
C．m≥4
D．4≤m≤8

7. 难度：中等

函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，则tan∠APB=（ ）
A．10
B．8
C．
D．

8. 难度：中等

已知各项为正数的等差数列{a_n}的前20项和为100，那么a₇•a₁₄的最大值为（ ）
A．25
B．50
C．100
D．不存在

9. 难度：中等

已知向量与向量的夹角为120，若向量且，则的值为（ ）
A．2
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知函数f（x）满足，当x∈[0，1]，f（x）=x，若在区间（-1，1]内g（x）=f（x）-mx-m有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

锐角α满足，则sinα=    ．

12. 难度：中等

关于x的方程的解集只有一个子集．则实数a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

数列{a_n}中，a₃=2，a₇=1，且数列{}是等差数列，则a₁₁=    ．

14. 难度：中等

定义运算ab=ab²+a²b，则sin15°cos15°的值是     ．

15. 难度：中等

设x=e是函数f（x）=（x-a）²lnx（a∈R）的一个极小值点，则实数a的值等于    ．

16. 难度：中等

已知实数x，y满足线性约束条件，若目标函数z=x-y的最小值为，则实数m=    ．

17. 难度：中等

实数x，y满足4x²+4y²-5xy=5，设S=x²+y²，则S的最小值为    ．

三、解答题

18. 难度：中等

设全集是实数集R，A={x|2x²-7x+3≤0}，B={x|x²+a＜0}．
（1）当a=-4时，求A∩B和A∪B；
（2）若（∁_RA）∩B=B，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求角A的大小；
（2）若a=6，求b+c的取值范围．

20. 难度：中等

设{x_n}是各项都为正数的等比数列，{y_n}是等差数列，且x₁=y₁=1，x₃+y₅=13，x₅+y₃=21．
（1）求{x_n}，{y_n}的通项公式．
（2）若i，j均为正整数，且1≤i≤j≤n，求所有可能乘积x_i•y_j的和S．

21. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）单调递增，f（-1）=0，设φ（x）=sin²x+mcosx-2m，集合，，求M∩N．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-x，g（x）=lnx．
（1）求证：f（x）≥g（x）；
（2）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的值；
（3）设F（x）=f（x）+mg（x）（m∈R）有两个极值点x₁、x₂（x₁＜x₂）；求实数m的取值范围，并证明：．