2009-2010学年天津市五校高二（上）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若m，n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为（ ）
①；②；③；④．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

2. 难度：中等

已知点P（0，-1），点Q在直线x-y+1=0上，若直线PQ垂直于直线x+2y-5=0，则点Q的坐标是（ ）
A．（-2，1）
B．（2，1）
C．（2，3）
D．（-2，-1）

3. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．5π

4. 难度：中等

过点（-1，1）且与圆x²+y²-4x+2y-4=0相切的直线的方程为（ ）
A．5x-12y+17=0
B．5x-12y+17=0或5x+12y+17=0
C．x=-1或5x+12y+17=0
D．x=-1或5x-12y+17=0

5. 难度：中等

夹在两条平行线l₁：3x-4y=0与l₂：3x-4y-20=0之间的圆的最大面积为（ ）
A．2π
B．4π
C．8π
D．16π

6. 难度：中等

如图，一个圆锥的侧面展开图是中心角为90°面积为S₁的扇形，若圆锥的全面积为S₂，则等于（ ）

A．
B．2
C．
D．

7. 难度：中等

当a为任意实数时，直线（a-1）x-y+a+1=0恒过定点C，则以C为圆心，半径为的圆的方程为（ ）
A．x²+y²-2x+4y=0
B．x²+y²+2x+4y=0
C．x²+y²+2x-4y=0
D．x²+y²-2x-4y=0

8. 难度：中等

在一个表面积为π的球内挖去一个最大的正方体，则所剩下的几何体的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM成60°角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD，其中正确的是（ ）

A．①②
B．③④
C．②③
D．①③

10. 难度：中等

要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（ ）

A．3
B．4
C．5
D．6

二、填空题

11. 难度：中等

已知二面角α-l-β的平面角为45°，有两条异面直线a，b分别垂直于平面，则异面直线所成角的大小是    ．

12. 难度：中等

若直线l₁：ax+2y+6=0与直线l₂：x+（a-1）y+（a²-1）=0平行且不重合，则a的值是   

13. 难度：中等

一个三角形在其直观图中对应一个边长为1正三角形，原三角形的面积为    ．

14. 难度：中等

已知点P（x，y）是圆（x-3）²+（y-）²=6上的动点，则的最大值是    ．

15. 难度：中等

已知直线l过点（-2，0），当直线l与圆x²+y²=2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是    ．

16. 难度：中等

如图，正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A'ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，现给出下列四个命题：
①动点A'在平面ABC上的射影在线段AF上；
②恒有平面A'GF⊥平面BCED；
③三棱锥A'-FED的体积有最大值；
④面直线A'E与BD不可能垂直．
其中正确的命题的序号是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

设直线方程为l：（a+1）x+y+2+a=0（a∈R）
（Ⅰ）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l方程；
（Ⅱ）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．

18. 难度：中等

如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=．
（1）求四棱锥S-ABCD的体积；
（2）求证：面SAB⊥面SBC；
（3）求SC与底面ABCD所成角的正切值．

19. 难度：中等

已知圆C：（x-1）²+y²=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．
（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；
（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；
（3）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．

20. 难度：中等

如图，在棱长为a的正方体A₁B₁C₁D₁-ABCD中，
（1）作出面A₁BC₁与面ABCD的交线l，判断l与直线A₁C₁位置关系，并给出证明；
（2）证明B₁D⊥面A₁BC₁；
（3）求直线AC到面A₁BC₁的距离；
（4）若以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA₁所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，试写出C，C₁两点的坐标．

21. 难度：中等

已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y-29=0相切．
（1）求圆的方程；
（2）若直线ax-y+5=0（a≠0）与圆相交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（-2，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．