2010-2011学年福建省泉州市德化一中高二（下）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数z=1+i，则等于（ ）
A．0
B．2
C．
D．1-i

2. 难度：中等

能使命题“已知∠A和∠B是对顶角，所以∠A=∠B”为真命题的大前提是（ ）
A．内错角相等，两直线平行
B．对顶角相等
C．等腰三角形的两个底角相等
D．两直线平行，内错角相等

3. 难度：中等

已知椭圆C的离心率且焦距为6，则椭圆C的长轴长等于（ ）
A．5
B．4
C．8
D．10

4. 难度：中等

已知f（x）=e^x，则f（e）+f′（e）等于（ ）
A．e^e
B．e^e+e
C．2e^e
D．2e

5. 难度：中等

如果随机变量ξ～N（0，σ²），且P（ξ＜-2）=0.3，则P（-2≤ξ＜2）等于（ ）
A．0.3
B．0.6
C．0.2
D．0.4

6. 难度：中等

如果函数有单调递减区间，则（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

直线y=kx与双曲线的左右两支各有一个交点，则k的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知（a+b）ⁿ展开式的二项式系数中，第4项是最大的，则n值可能等于（ ）
A．6
B．5或6
C．6或7
D．5，6或7

9. 难度：中等

从5个高度均不相等的人中选出3个人，并把他们按从左到右的顺序从高到矮排成一列，则满足条件方法数是（ ）
A．C₅³
B．2C₅³
C．A₅³
D．27C₅³

10. 难度：中等

给出三个命题：①对于∀b，c∈R，函数f（x）=x²+bx+c在R上都有极小值；②从含有2件次品的5件不同产品中，依次不放回取出3件，则事件A“第一次取出次品”和事件B“前两次取出的都是次品”是相互独立的；③5个人排成一排，其中三位男生必须相邻，两位女生不能相邻的方法数是12种，其中正确的命题是（ ）
A．①②③
B．①②
C．①③
D．②③

二、填空题

11. 难度：中等

已知函数f（x）=sinx，则以点A（0，0）为切点的f（x）切线方程是    ．

12. 难度：中等

已知，试通过计算a₂，a₃，a₄，a₅的值，推测出a_n=    ．

13. 难度：中等

已知随机变量η只取a，1这两个值，且P（η=a）=a，则当E（η）取最小值时D（η）等于    ．

14. 难度：中等

如果椭圆C和双曲线C′具有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，则称椭圆C是双曲线C′的“伴生”椭圆，据此，焦点在x轴上，以y=±x为渐近线，且焦点到渐近线距离为1的双曲线的“伴生”椭圆的方程是    ．

15. 难度：中等

圆C：x²+y²=1经过伸缩变换（其中a，b∈R，0＜a＜2，0＜b＜2，a、b的取值都是随机的．）得到曲线C′，则在已知曲线C′是焦点在x轴上的椭圆的情形下，C′的离心率的概率等于    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知直线l过点A（2，0），倾斜角为．
（1）写出直线l的参数方程；
（2）若有一极坐标系分别以直角坐标系的原点和x轴非负半轴为原点和极轴，并且两坐标系的单位长度相等，在极坐标系中有曲线C：ρ²cos2θ=1，求直线l截曲线C所得的弦BC的长度．

17. 难度：中等

已知m，n∈N，m、n≥1，f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ的展开式中，x的系数为9．求f（x）展开式中x²的系数的最小值．

18. 难度：中等

如图所示，抛物线y=1-x²与x轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD作为工业用地，其中A、B在抛物线上，C、D在x轴上．已知工业用地每单位面积价值为3a元（a＞0），其它的三个边角地块每单位面积价值a元，问如何规划才能使得整块土地总价值最大．

19. 难度：中等

已知点A（2，8），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）在抛物线y²=2px上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）
（I）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
（II）求线段BC中点M的坐标
（III）求BC所在直线的方程．

20. 难度：中等

我校学生会要组建学生明星篮球队，需要在各班选拔预备队员．选拔过程中每人投篮5次，若投中3次则进入B级，投中4次及以上则进入A级，已知阿达每次投篮投中的概率是．
（1）设阿达在5次投篮中，投中次数为X，求X的分布列和它的数学期望E（X）；
（2）求阿达投篮4次恰好进入B级的概率；
（3）为增加竞争力度，学生会下发新规：连续两次投篮不中必须停止投篮，求阿达投篮次数不超过4次的概率．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=在x=1处取得极值2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）实数m满足什么条件时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增？
（3）是否存在这样的实数m，同时满足：①m≤1；②当x∈（-∞，m]时，f（x）≥m恒成立．若存在，请求出m的取值范围；若不存在，说明理由．