Question

已知m，n∈N，m、n≥1，f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ的展开式中，x的系数为9．求f（x）展开式中x²的系数的最小值．

Answer

利用二项展开式的通项公式求出展开式的x的系数，列出方程得到m，n的关系；利用二项展开式的通项公式求出x2的系数，将m，n的关系代入得到关于m的二次函数，配方求出最小值
【解析】
x的系数为Cm1+Cn1=9，即m+n=9．∴m=9-n…（4分）
（1）若m=1，n=8，或m=8，n=1时，f（x）=（1+x）+（1+x）8
此时，x2的系数为T=C82=28…（6分）
（2）若m≠1，且n≠8，或m≠8，且n≠1时x2的系数为T=Cm2+Cn2=．…（9分）
∵m，n∈N，m、n≥1，∴1≤n≤8，且n∈N
∴当n=4或5时，x2系数取得最小值，最小值为16…（12分）
综合（1）（2）得．当n=4或5时，x2系数取得最小值，最小值为16…（13分）