2010-2011学年黑龙江省牡丹江一中高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

在Rt△ABC中，CD是斜边上的高线，AC：BC=3：1则S_△ABC：S_△ACD为（ ）
A．4：3
B．9：1
C．10：1
D．10：9

3. 难度：中等

用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，则假设的内容是（ ）
A．三角形中有两个内角是钝角
B．三角形中有三个内角是钝角
C．三角形中至少有两个内角是钝角
D．三角形中没有一个内角是钝角

4. 难度：中等

函数y=x³-3x²-9x（-2＜x＜2）有（ ）
A．极大值5，极小值-27
B．极大值5，极小值-11
C．极大值5，无极小值
D．极小值-27，无极大值

5. 难度：中等

函数f（x）=2x²-lnx的递增区间是（ ）
A．（0，）
B．（-，0）及（）
C．（）
D．（）及（0，）

6. 难度：中等

若数列{a_n}的通项公式，记f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n），试通过计算f（1），f（2），f（3）的值，推测出f（n）为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

函数f（x）=alnx+x在区间[2，3]上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A．a＞-3
B．a＞-2
C．a≥-3
D．a≥-2

8. 难度：中等

给出的下列不等式中，不成立的是（ ）
A．x-x²＞0，x∈（0，1）
B．sinx＜x，x∈（0，π）
C．e^x＜1+x，x≠0
D．lnx＜x，x＞0

9. 难度：中等

在△ABC中，AC=5，中线AD=4，则AB边的取值范围是（ ）
A．1＜AB＜9
B．3＜AB＜13
C．5＜AB＜13
D．9＜AB＜13

10. 难度：中等

曲线y=ln（2x-1）上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是（ ）
A．
B．
C．
D．0

11. 难度：中等

如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD：BC=1：2，AB=35，PD=40，则过点P的⊙O的切线长是（ ）

A．60
B．40
C．35
D．50

12. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如下表．

x	-1		4	5
f（x）	1	2	2	1

f（x）的导函数y=f'（x）的图象如图所示．
下列关于函数f（x）的命题：
①函数y=f（x）是周期函数；
②函数f（x）在[0，2]是减函数；
③如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a有4个零点．
其中真命题的个数是（ ）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

二、填空题

13. 难度：中等

定积分=    ．

14. 难度：中等

两弦相交，一弦被分为12cm和18cm两段，另一弦被分为3：8，求另一弦长    ．

15. 难度：中等

在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=b，BC=a，则△ABC外接圆半径．运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R=    ．

16. 难度：中等

下列命题中正确的有    ．（填上所有正确命题的序号）
①若f'（x）=0，则函数y=f（x）在x=x取得极值；
②若∫_a^bf（x）dx＞0，则f（x）＞0在[a，b]上恒成立；
③已知函数f（x）=，则∫¹f（x）dx的值为；
④一质点在直线上以速度v=t²-4t+3（m/s）运动，从时刻t=0（s）到t=4（s）时质点运动的位移为（m）

三、解答题

17. 难度：中等

已知：a＞b＞0，求证：．

18. 难度：中等

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，过点D作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E．
求证：（1）△ABC≌△DCB；
（2）DE•DC=AE•BD．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+mx²-m²x+1（m为常数，且m＞0）有极大值9，求m的值及f（x）的极小值．

20. 难度：中等

已知A、B、C、D为圆O上的四点，直线DE为圆O的切线，AC∥DE，AC与BD相交于H点
（Ⅰ）求证：BD平分∠ABC
（Ⅱ）若AB=4，AD=6，BD=8，求AH的长．

21. 难度：中等

已知f（x）=lnx，g（x）=+mx+（m＜0），直线l与函数f（x）的图象相切，切点的横坐标为1，且直线l与函数g（x）的图象也相切．
（1）求直线l的方程及实数m的值；
（2）若h（x）=f（x+1）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的最大值；
（3）当0＜b＜a时，求证：f（a+b）-f（2a）＜．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=（x²-3x+3）•e^x，其定义域为[-2，t]（t＞-2），设f（-2）=m，f（t）=n．
（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调函数；
（2）试判断m，n的大小并说明理由．