Question

已知函数f（x）=x³+mx²-m²x+1（m为常数，且m＞0）有极大值9，求m的值及f（x）的极小值．

Answer

先求出导函数，得出导函数等于0的两个根，列出x，f′（x），f（x）的变化情况的表格，求出极大值，列出方程求出m的值，进而可求f（x）的极小值．
【解析】
求导函数f′（x）=3x2+2mx-m2=（x+m）（3x-m）=0，则x=-m或x=m，
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：

从而可知，当x=-m时，函数f（x）取得极大值，当x=m时，有极小值
∵函数f（x）取得极大值9，
∴f（-m）=-m3+m3+m3+1=9，解得m=2．
∴函数的解析式为f（x）=x3+2x2-4x+1
当x=m时，有极小值．