2009-2010学年福建省漳州实验中学高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则（ ）
A．¬p：∃x∈R，sinx≥1
B．¬p：∀x∈R，sinx≥1
C．¬p：∃x∈R，sinx＞1
D．¬p：∀x∈R，sinx＞1

2. 难度：中等

已知p：log₂x＜0，q：x＜1，则p是q的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．10

4. 难度：中等

已知向量，则与的夹角为（ ）
A．0°
B．45°
C．90°
D．180°

5. 难度：中等

在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，化简=（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

将一个骰子连续投掷三次，它落地时向上的点数依次成等比数列的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y=±3
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知抛物线y²=8x，过点A（2，0）作倾斜角为的直线l，若l与抛物线交于B、C两点，弦BC的中点P到y轴的距离为
（ ）
A．
B．
C．
D．8

9. 难度：中等

一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为（ ）

A．
B．
C．6
D．12

10. 难度：中等

设数列{a_n}满足a₁=1，且a_n+1-3a_n+4=0，n∈N⁺，那么数列{a_n}前10项中为负值的项数是（ ）
A．1
B．2
C．7
D．9

11. 难度：中等

已知x、y之间的一组数据为：
x：0    1     2     3
y：1    3     5     7
则y与x的线性回归方程必过点（ ）
A．（1.5，3）
B．（1.5，4）
C．（1.7，4）
D．（1.7，3）

12. 难度：中等

已知Ω={（x，y）|}，直线y=mx+2m和曲线y=有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若P（M）∈[，1]，则实数m的取值范围（ ）
A．[，1]
B．[0，]
C．[，1]
D．[0，1]

二、填空题

13. 难度：中等

阅读下列程序框图，该程序输出的结果是    ．

14. 难度：中等

若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则s的取值范围是     ．

15. 难度：中等

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，则直线AB与平面BDA₁所成角的正弦值等于    ．

16. 难度：中等

现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为．类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表．

	优秀	非优秀	总计
甲班	10
乙班		30
合计			105

已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为
（Ⅰ）请完成上面的列联表；
（Ⅱ）从105名学生中选出10名学生组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从105人中剔除5人，剩下的100人再按系统抽样的方法抽取10人，请写出在105人 中，每人入选的概率．（不必写过程）
（Ⅲ）把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和作为被抽取人的序号，试求抽到6号或10号的概率．

18. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，A为锐角．已知向量，
（1）若向量，当与垂直时，求sinA的值；
（2）若，且a²-c²=b²-mbc，求实数m的值．

19. 难度：中等

漳州实验中学运动会上甲、乙两班比赛排球，甲班在每局比赛中胜乙班的概率为，比赛采取五局三胜制，即谁先胜三局谁就获胜，并停止比赛．
（1）求前2局甲、乙各胜一局的概率；
（2）求甲班以3：1获胜的概率．

20. 难度：中等

已知a＞0，a≠1，设p：函数y=log_a（x+1）在（0，+∞）上单调递减；q：曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点．如果p且q为假命题，p或q为真命题，求a的取值范围．

21. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，若E、F分别为线段PC、BD的中点．
（1）求证：直线EF∥平面PAD；
（2）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（3）线段AB上是否存在一点M，使二面角M-PD-C为45°．

22. 难度：中等

设F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点．
（1）求椭圆的焦点坐标、离心率及准线方程；
（2）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；
（3）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．