2007-2008学年北京市宣武区高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知i是虚数单位，则复数=（ ）
A．1+i
B．-1+i
C．-1-i
D．1-i

2. 难度：中等

已知cosθ=，且θ∈（，2π），则tanθ的值为（ ）
A．
B．-
C．
D．-

3. 难度：中等

设a，b∈R，则“a+b=1”是“4ab≤1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

已α，β、γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，给出下列四个命题：
①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；
②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；
③若l上有两个点到α的距离相等，则l∥α；
④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β．
其中正确命题的序号是（ ）
A．①②
B．①④
C．②④
D．③④

5. 难度：中等

函数y=3^x的图象与函数的图象关于（ ）
A．点（-1，0）对称
B．直线x=1对称
C．点（1，0）对称
D．直线x=-1对称

6. 难度：中等

在北纬45° 的纬线圈上有A、B两地，A地在东经110°处，B地在西经160°处，设地球半径为R，则A、B两地的球面距离是（ ）
A．
B．
C．
D．πR

7. 难度：中等

身穿兰、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿红色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ）
A．48种
B．72种
C．78种
D．84种

8. 难度：中等

R上的函数f（x）的反函数为f^-1（x），且对于任意的x，都有f（x）+f（-x）=3，则f^-1（x-1）+f^-1（4-x）的值为（ ）
A．3
B．
C．-3
D．0

二、填空题

9. 难度：中等

=    ．

10. 难度：中等

（x²+）⁶的展开式中常数项是    ．（用数字作答）

11. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2（a_n-1），则a₇=    ．

12. 难度：中等

已知向量、满足||=1，||=4，且•=2，则与的夹角为    ．

13. 难度：中等

函数的最小正周期为    ．

14. 难度：中等

定义在N^*上的函数f（x），满足f（1）=1且，则f（22）=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，，BC=1，．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）求的值．

16. 难度：中等

已知数列{an}是首项为a₁=4，公比q≠1的等比数列，S_n是其前项和，且4a₁，a₅，-2a₃成等差数列．
（1）求公比q的值；
（2）设A_n=S₁+S₂+S₃+…+S_n，求A_n．

17. 难度：中等

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为AB的中点
（1）求直线B₁C与DE所成角的余弦值；
（2）求证：平面EB₁D⊥平面B₁CD；
（3）求二面角E-B₁C-D的余弦值．

18. 难度：中等

某公园有甲、乙两个相邻景点，原拟定甲景点内有2个A班同学和2个B班同学；乙景点内有2个A班同学和3个B班同学，后由于某种原因，甲、乙两景点各有一个同学交换景点观光．
（1）求甲景点恰有2个A班同学的概率；
（2）求甲景点A班同学数ξ的分布列及数学期望．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=ax⁴+bx³+cx²+dx+e（其中a、b、c、d、x∈R）为偶函数，它的图象过点A（0，-1），且在x=1处的切线方程为2x+y-2=0．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若对任意x∈R，不等式f（x）≤t（x²+1）总成立，求实数t的取值范围．

20. 难度：中等

已知集合A={x|x²+a≤|a+1|x，a∈R}
（1）求A；
（2）若以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为S_n，问是否存在实数a使得对于任意的n∈N^*，均有S_n∈A．若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．