Question

已知集合A={x|x²+a≤|a+1|x，a∈R}
（1）求A；
（2）若以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为S_n，问是否存在实数a使得对于任意的n∈N^*，均有S_n∈A．若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．

Answer

（1）为去掉绝对值，对a要进行分类讨论，分a+1≥0，a+1＜0两类．对应的求A
 （2）根据已知条件，求出数列{an}的前n项和公式Sn，结合（1）的结论，可构造出一个关于a 的不等式，解不等式，可得满足条件的a的取值范围．
【解析】
（1）由x2+a≤|a+1|x，a∈R，
得或
∴a＞1时，1≤x≤a；-1≤a≤1时，a≤x≤1；a＜-1时，-1≤x≤-a
∴a＞1时，A={x|1≤x≤a}；-1≤a≤1时，A={x|a≤x≤1}；a＜-1时，A={x|-1≤x≤-a}
（2）①当a≥1时，A={x|1≤x≤a}，而当n=2时，S2=a+a2，若S2∈A，则1≤a+a2≤a，得，此不等式组的解集为空集，故a≥1时，不存在满足条件的实数a；
②当0＜a＜1时，A={x|a≤x≤1}；而是关于n的增函数，且，故，故对任意的n∈N*，要使Sn∈A，只需a满足，解得；
③当a＜-1时，A={x|-1≤x≤-a}，显然S1=a∉A，故不存在满足条件的实数a；
④当a=-1时，A={x|-1≤x≤1}，S2n-1=-1，S2n=1，适合；
⑤当-1＜a＜0时，A={x|a≤x≤1}，S2n+1=S2n-1+a2n+a2n+1=S2n-1+a2n+a2n+1=S2n-1+a2n（1+a）
∵a2n＞0，1+a＞0，∴a2n（1+a）＞0，∴S2n+1＞S2n-1S2n+2=S2n+a2n+1+a2n+2=S2n+a2n+1+a2n+2=S2n+a2n+1（1+a）
∵a2n+1=a2n•a＜0，1+a＞0，∴a2n+1（1+a）＜0，∴S2n+2＜S2n
又∵=a2n+1＜0
∴S2n+1＜S2n
而S2=S1+a2＞S1，
故S1＜S3＜S5＜S7＜…＜S2n+1＜…＜S2n＜S2n-2＜…＜S4＜S2
故对任意的n∈N*，要使Sn∈A，只需，即，解得-1＜a＜0
综上所述，a的取值范围是或-1≤a＜0}