2009-2010学年浙江省绍兴市上虞中学高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合A={（x，y）|y=x²，x∈R}，集合B={（x，y）|y=2^x，x∈R}，则集合A∩B的真子集的个数是（ ）
A．1
B．3
C．5
D．7

2. 难度：中等

如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（ ）
A．
B．
C．-
D．2

3. 难度：中等

在△ABC中，A、B、C是它的三个内角，则A＜B是tanA＜tanB的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

设实数x，y满足，则u=的最小值是（ ）
A．
B．2
C．3
D．

6. 难度：中等

若展开式的第三项为10，则y关于x的函数图象的大致形状为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知||=1，||=k，，点C在∠AOB内，•=0，若=2m+m，||=，则k=（ ）
A．1
B．2
C．
D．4

8. 难度：中等

根据表格中的数据，可以判定方程e^x-x-2=0的一个根所在的区间为（ ）

x	-1		1	2	3
e^x	0.37	1	2.72	7.39	20.09
x+2	1	2	3	4	5

A．（-1，0）
B．（0，1）
C．（1，2）
D．（2，3）

9. 难度：中等

已知抛物线有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

若m，n∈{x|x=a₂×10²+a₁×10+a}，其中a_i∈{1，2，3，4，5}（i=0，1，2），并且m+n=735，则实数对（m，n）表示平面上不同点的个数为（ ）
A．32
B．40
C．50
D．75

二、填空题

11. 难度：中等

已知幂函数f（x）=x^a的图象经过点，则f（9）=    ．

12. 难度：中等

已知某算法的流程图如图所示，若将输出的（x，y）的值依次记为（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n），若程序运行中输出的一个数组是（t，-8），则t为    ．

13. 难度：中等

袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记ξ为摸出两球中白球的个数，则ξ的期望Eξ=    ．

14. 难度：中等

若△ABC中，BC=2，角，当△ABC的面积等于时，sinC为    ．

15. 难度：中等

对于大于或等于2的自然数m的n次幂进行如图方式的“分裂”．仿此，5²的“分裂”中最大的数是    ，若m³的“分裂”中最小的数是211，则m的值为    ．

16. 难度：中等

设正方体的对称轴组成的集合为A={l₁，l₂，…，l_n-1，l_n}，对∀i，j∈{1，2，…，n}，i≠j，都有异面直线a，b使得a∥l_i，b∥l_j，a，b所成的最小角为θ，则sin（nπ+θ）=    ．

17. 难度：中等

定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：①对任意，②当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0；若，，R=f（0），则P，Q，R的大小关系为    （用“＜”连接）

三、解答题

18. 难度：中等

已知函数，
（1）求函数f（x）的周期及最大值；
（2）若将f（x）的图象向左平移后，再将所有点的横坐标缩小到原来的倍，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的值域．

19. 难度：中等

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，．
（Ⅰ）当a=1时，求证：BD⊥PC；
（Ⅱ）若BC边上有且只有一个点Q，使得PQ⊥QD，求此时二面角A-PD-Q的余弦值．

20. 难度：中等

已知a＞0，且a≠1，数列{a_n}的前n项和为S_n，它满足条件．数列{b_n}中，b_n=a_n•lga_n．
（1）求数列{b_n}的前n项和T_n；
（2）若对一切n∈N^*都有b_n＜b_n+1，求a的取值范围．

21. 难度：中等

已知定点A（-2，0），动点B是圆F：（x-2）²+y²=64（F为圆心）上一点，线段AB的垂直平分线交BF于P．
（I）求动点P的轨迹方程；
（II）是否存在过点E（0，-4）的直线l交P点的轨迹于点R，T，且满足（O为原点）．若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²-bx+1（x∈R，a，b为实数）有极值，且在x=1处的切线与直线x-y+1=0平行．
（1）求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使得函数f（x）的极小值为1，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由；
（3）设a=令g（x）=-3，x∈（0，+∞），求证：gⁿ（x）-xⁿ-≥2ⁿ-2（n∈N₊）．

23. 难度：中等

选做题：已知x，y，z∈R⁺，且x+y+z=1．
（1）若2x²+3y²+6z²=1，求x，y，z的值；
（2）若2x²+3y²+tz²≥1恒成立，求正数t的取值范围．

24. 难度：中等

选做题：已知曲线C₁，C₂的极坐标方程分别为与．
（1）将C₁，C₂的方程化为直角坐标方程；
（2）设点P在曲线C₁上，点Q在C₂上，求|PQ|的最小值．