2010-2011学年湖南省长沙市雅礼中学高三第二次月考数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={0，1，2}，N={x|x=-a，a∈M}，则集合M∩N=（ ）
A．{0，-1}
B．{0}
C．{-1，-2}
D．{0，-2}

2. 难度：中等

若，则sinx•cosx的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

已知{a_n}是等差数列，a₆+a₇=20，a₇+a₈=28，则该数列前13项和S₁₃等于（ ）．
A．156
B．132
C．110
D．100

4. 难度：中等

在△ABC中，若•+²=0，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形

5. 难度：中等

下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．命题“若x²=1，则x=1”的否命题为：“若x²=1，则x≠1”
B．“x=-1”是“x²-5x-6=0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，x²+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，x²+x+1＜0”
D．命题“若x=y，sinx=siny”

6. 难度：中等

定义在R上的偶函数f（x），当x≥0时，f（x）=2^x，则满足f（1-2x）＜f（3）的x取值范围是（ ）
A．．（-1，2）
B．．（-2，1）
C．[-1，2]
D．（-2，1]

7. 难度：中等

已知x＞1，y＞1，且，，lny成等比数列，则xy（ ）
A．有最大值e
B．有最大值
C．有最小值e
D．有最小值

8. 难度：中等

设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“倍约束函数”．现给出下列函数：
①f（x）=2x；   
②f（x）=sinx+cosx；
③f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|；
④．
其中是“倍约束函数”的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

二、填空题

9. 难度：中等

复数（i是虚数单位）实部是    ．

10. 难度：中等

函数的部分图象如图所示，则f（x）=    ．

11. 难度：中等

已知数列{a_n}前n项和为S_n，若S_n=2ⁿ-1，则a₈=    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，∠A=60°，AC=3，△ABC面积为，那么BC的长度为     ．

13. 难度：中等

若x、y满足的最小值是    ．

14. 难度：中等

已知点G是△ABC的重心，，那么λ+μ=    ；若∠A=120°，，则的最小值是    ．

15. 难度：中等

如图所示的螺旋线是用以下方法画成的，△ABC是边长为1的正三角形，曲线CA₁，A₁A₂，A₂A₃分别是A，B，C为圆心，AC，BA₁，CA₂为半径画的弧，曲线CA₁A₂A₃称为螺旋线的第一圈；然后又以A为圆心，AA₃半径画弧，如此继续下去，这样画到第n圈．设所得螺旋线CA₁A₂A₃…A_3n-2A_3n-1A_3n的总长度为S_n．求
（1）S₁=    ；
（2）S_n=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知，．
（1）若与的夹角为60°，求；
（2）若，求与的夹角．

17. 难度：中等

已知函数的定义域为M，
（1）求M；
（2）当x∈M时，求f（x）=4^x-2^x+1的最小值．

18. 难度：中等

已知函数
（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（2）设△ABC的内角A、B、C、的对边分别为a、b、c，且c=，f（C）=0，若向量与向量共线，求a，b．

19. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n-S_n-1=+（n≥2），a₁=1．
（1）证明：数列是等差数列．并求数列{a_n}的通项公式；
（2）若，T_n=b₁+b₂+…+b_n，求证：．

20. 难度：中等

如图，直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=1，．点M，N分别在边AB和AC上（M点和B点不重合），将△AMN沿MN翻折，△AMN变为△A'MN，使顶点A'落在边BC上（A'点和B点不重合）．设∠AMN=θ．
（1）用θ表示线段AM的长度，并写出θ的取值范围；
（2）在△AMN中，若，求线段A'N长度的最小值．

21. 难度：中等

设函数f（x）=（x²+ax+b）e^x（x∈R）．
（1）若a=2，b=-2，求函数f（x）的极值；
（2）若x=1是函数f（x）的一个极值点，试求出a关于b的关系式（即用a表示b），并确定f（x）的单调区间；（提示：应注意对a的取值范围进行讨论）
（3）在（2）的条件下，设a＞0，函数g（x）=（a²+14）e^x+4．若存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜1成立，求a的取值范围．