2009-2010学年广东省珠海市斗门一中高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知命题p：∀x∈R，x²-x+＜0，命题q：∃x∈R，sinx+cosx=，则下列判断正确的是（ ）
A．p是真命题
B．q是假命题
C．¬p是假命题
D．￢q是假命题

2. 难度：中等

若过点A（3，0）的直线l与曲线（x-1）²+y²=1有公共点，则直线l斜率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

“双曲线的方程为”是“双曲线的准线方程为”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

设椭圆（m＞0，n＞0）的右焦点与抛物线y²=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

若点P到直线x=-1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点P的轨迹为（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线

6. 难度：中等

若动点（x，y）在曲线上变化，则x²+2y的最大值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2

7. 难度：中等

如程序框图，程序框图所进行的求和运算是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知F₁、F₂是椭圆的两个焦点，满足•=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．（0，]
C．（0，）
D．[，1）

二、填空题

9. 难度：中等

将数1204_（5）化为十进数是    ．

10. 难度：中等

过点P（0，2）的直线L与抛物线y²=2x有且只有一个公共点，则直线L的方程是    ．

11. 难度：中等

椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F₁，F₂的连线互相垂直，则△PF₁F₂的面积为    ．

12. 难度：中等

过双曲线右焦点垂直于X轴的直线与双曲线相交于A、B两点，若△OAB是等腰直角三角形，则双曲线的离心率等于    ．

13. 难度：中等

若点（x，y）在椭圆内部，则有，问直线与椭圆的交点个数是    ．

14. 难度：中等

以下四个关于圆锥曲线的命题中
①设A、B为两个定点，k为非零常数，||-||=k，则动点P的轨迹为双曲线；
②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若=（+），则动点P的轨迹为椭圆；
③方程2x²-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线-=1与椭圆+y²=1有相同的焦点．
其中真命题的序号为    （写出所有真命题的序号）

三、解答题

15. 难度：中等

已知命题p：|4-x|≤6，q：x²-2x+1-a²≥0（a＞0），若非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．

16. 难度：中等

经过M（2，1）作直线L交双曲线于A、B两点，且M为AB的中点，
（1）求直线L的方程；       
（2）求线段AB的长．

17. 难度：中等

当α∈（0°，180°）变化时，方程x²sinα+y²cosα=1表示的曲线的形状怎样变换？

18. 难度：中等

已知三点P（5，2）、F₁（-6，0）、F₂（6，0）．
（Ⅰ）求以F₁、F₂为焦点且过点P的椭圆标准方程；
（Ⅱ）设点P、F₁、F₂关于直线y=x的对称点分别为P′、F₁′、F₂′，求以F₁′、F₂′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．

19. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O．椭圆=1与圆C的一个交点到椭圆两点的距离之和为10．
（1）求圆C的方程；
（2）试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

设b＞0，椭圆方程为，抛物线方程为x²=8（y-b）．如图所示，过点F（0，b+2）作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F₁．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．