2008-2009学年北京市密云县高中新课程模块考试数学试卷（选修2-1）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列命题中的真命题是（ ）
A．是有理数
B．π是有理数
C．两个全等三角形的面积相等
D．两个面积相等的三角形全等

2. 难度：中等

全称命题：∀x∈R，x²＞0的否定是（ ）
A．∀x∈R，x²≤0
B．∃x∈R，x²＞0
C．∃x∈R，x²＜0
D．∃x∈R，x²≤0

3. 难度：中等

如果命题“p∨q”为假命题，则（ ）
A．p，q均为假命题
B．p，q中至少有一个真命题
C．p，q均为真命题
D．p，q中只有一个真命题

4. 难度：中等

双曲线的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知A（3，2，1）、B（1，0，4），则线段AB的中点P的坐标为（ ）
A．（4，2，5）
B．（）
C．（2，2，-3）
D．（）

6. 难度：中等

抛物线x²=4y的焦点坐标为（ ）
A．（1，0）
B．（-1，0）
C．（0，1）
D．（0，-1）

7. 难度：中等

若m，n是实数，条件甲：m＜0，且n＜0；条件乙：方程表示双曲线，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件

8. 难度：中等

已知A（1，2，3），B（0，1，2），C（-1，0，λ）若，则λ的值为（ ）
A．-1
B．1
C．2
D．-2

9. 难度：中等

已知椭圆的焦点是F₁、F₂，P是椭圆上的一个动点，如果延长F₁P到Q，使得|PQ|=|PF₂|，那么动点Q的轨迹是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线的一支
D．抛物线

10. 难度：中等

四面体ABCD中，设M是CD的中点，则化简的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

在同一坐标系中，方程a²x²+b²y²=1与ax+by²=0（a＞b＞0）的曲线大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃）在抛物线上，且2x₂=x₁+x₃，则有（ ）
A．|FP₁|+|FP₂|=|FP₃|
B．|FP₁|²+|FP₂|²=|FP₃|²
C．2|FP₂|=|FP₁|+|FP₃|
D．|FP₂|²=|FP₁|•|FP₃|

13. 难度：中等

设椭圆=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，右焦点F（c，0），方程ax²+bx-c=0的两个根分别为x₁，x₂，则点P（x₁，x₂）在（ ）
A．圆x²+y²=2内
B．圆x²+y²=2上
C．圆x²+y²=2外
D．以上三种情况都有可能

14. 难度：中等

双曲线与椭圆（a＞0，m＞b＞0）的离心率互为倒数，则（ ）
A．a²+b²=m²
B．a²+b²＞m²
C．a²+b²＜m²
D．a+b=m

二、填空题

15. 难度：中等

命题“若a＞3，则a＞5”的逆命题是    ．

16. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P（2，4），则该抛物线的方程是    ．

17. 难度：中等

平面α与平面β垂直，平面α与平面β的法向量分别为=（-1，0，5），=（t，5，1），则t的值为    ．

18. 难度：中等

已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为     ．

三、解答题

19. 难度：中等

求经过点P（-3，0），Q（0，-2）的椭圆的标准方程，并求出椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标．

20. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，A、B分别为直线x+y=2与x、y轴的交点，C为AB的中点、若抛物线y²=2px（p＞0）过点C，求焦点F到直线AB的距离．

21. 难度：中等

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是D₁D，BD的中点，G在棱CD上，且，H为C₁G的中点，应用空间向量方法求解下列问题．
（1）求证：EF⊥B₁C；
（2）求EF与C₁G所成的角的余弦；
（3）求FH的长．

22. 难度：中等

中心在原点，一个焦点为F₁（0，）的椭圆截直线y=3x-2所得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程．

23. 难度：中等

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知DC=DD₁=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC．
（Ⅰ）设E是DC的中点，求证：D₁E∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角A₁-BD-C₁的余弦值．

24. 难度：中等

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点．
（1）求证：AB₁⊥面A₁BD；
（2）求二面角A-A₁D-B的大小；
（3）求点C到平面A₁BD的距离．

25. 难度：中等

已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．