2010-2011学年福建省龙岩一中高二（下）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z=i（1+i）（i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

已知抛物线方程y²=2x，则抛物线的准线方程是（ ）
A．
B．
C．x=-1
D．x=-1

3. 难度：中等

“|x|=|y|”是“x=y”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

下面几种推理是合情推理的是（ ）
（1）由圆的性质类比出球的有关性质；
（2）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；
（3）某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；
（4）三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是（n-2）•180°．
A．（1）（2）
B．（1）（3）
C．（1）（2）（4）
D．（2）（4）

5. 难度：中等

设命题p：∀x∈R，x²≥xq：∃x∈R，x²≥x，则下列判断正确的是（ ）
A．p假q真
B．p真q假
C．p真q真
D．p假q假

6. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，a_n=a_n-1+（n≥3），则a₅等于（ ）
A．
B．
C．4
D．5

7. 难度：中等

设椭圆+=1（m＞0，n＞0）的右焦点与抛物线y²=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的短轴长为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若函数f（x）=-x²+2lnx+8，则函数的单调递增区间是（ ）
A．（-∞，-1）
B．（-1，0）
C．（0，1）
D．（1，+∞）

9. 难度：中等

为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

性别 是否需要志愿者	男	女
需要	40	30
不需要	160	270

为了检验该地区的老年人需要志愿者提供帮助是否与性别有关系，根据表中数据，得到Χ²≈9.967，所以断定该地区的老年人需要志愿者提供帮助与性别有关系，这种判断出错的 可能性为（ ）
参考数据：

P（Χ^2≥k）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

A．0.999
B．0.995
C．0.001
D．0.005

10. 难度：中等

下列结论错误的是（ ）
A．命题“若p，则q”与命题“若¬q，则¬p”互为逆否命题
B．命题p：∀x∈R，2^x＞0，命题¬p：∃x∈R，2^x≤0
C．若p∨q为假命题，则p、q均为假命题
D．“若am²＜bm²，则a＜b”的逆命题为真命题

11. 难度：中等

若双曲线=1（a＞0，b＞0）与直线y=3x无公共点，则离心率e的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．（1，3）

12. 难度：中等

如图中，有一个是函数f（x）=x³+ax²+（a²-1）x+1（a∈R，a≠0）的导函数f′（x）的图象，则f（-1）=（ ）

A．
B．-
C．
D．-或

二、填空题

13. 难度：中等

已知函数f（x）=x+sinx，则f'（x）=    ．

14. 难度：中等

定义运算，则对复数z，符合条件的复数z为    ．

15. 难度：中等

若函数f（x）=x³-x²+mx在区间[0，2]上单调递增，可得实数m的取值范围是[a，+∞），则实数a=    ．

16. 难度：中等

第一行：1
第二行：2    3    4
第三行：3    4    5    6    7
第四行：4    5    6    7    8    9    10
…
从上图观察可得第    行的各数之和等于2011²．

三、解答题

17. 难度：中等

已知直线l经过抛物线y²=4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
（1）若|AF|=4，求点A的坐标；
（2）若直线l的倾斜角为45°，求线段AB的长．

18. 难度：中等

设命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．
（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

已知{a_n}是等比数列，a₁=2，a₃=18；{b_n}是等差数列，b₁=2，b₁+b₂+b₃+b₄=a₁+a₂+a₃＞20．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足c_n=a_n+b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

20. 难度：中等

已知m∈R，函数f（x）=（x²+mx+m）e^x．
（Ⅰ）若m=-1，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）没有零点，求实数m的取值范围．

21. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，点M（4，1）是椭圆上一定点，直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A、B．
（1）求椭圆方程；
（2）求m的取值范围；
（3）求△OAB面积的最大值．（点O为坐标原点）

22. 难度：中等

对于函数图象上的不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如果在函数图象上存在点M（x，y）（其中x∈（x₁，x₂））使得点m处的切线l∥AB，则称AB存在“伴侣切线”．特别地，当X=时，又称AB存在“中值伴侣切线”．
（1）函数f（x）=x²图象上两点A（1，1），B（3，9），求AB的“中值伴侣切线”；
（2）若函数f（x）=lnx，试问：在函数f（x）上是否存在两点A、B使得它存在“中值伴侣切线”，若存在，求出A、B的坐标，若不存在，说明理由．