2008-2009学年北京市东城区示范校高三（上）12月联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

“p或q为真命题”是“p且q为真命题”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

设P和Q是两个集合，定义集合P-Q={x|x∈P，且x∉Q}，如果，Q={x||x-2|＜1}，那么P-Q等于（ ）
A．{x|0＜x＜1}
B．{x|0＜x≤1}
C．{x|1≤x＜2}
D．{x|2≤x＜3}

3. 难度：中等

设，则的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

向量a=（，sinx ），b=（cos2x，cosx），f（x）=a•b，为了得到函数y=f（x）的图象，可将函数y=sin2x的图象（ ）
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度

5. 难度：中等

已知实数x，a₁，a₂，y成等差数列，x，b₁，b₂，y成等比数列，则的取值范围是（ ）
A．[4，+∞）
B．（-∞，-4]∪[4，+∞）
C．（-∞，0]∪[4，+∞）
D．不能确定

6. 难度：中等

已知定义域为R的函数f（x）在（8，+∞）上为减函数，且函数y=f（x+8）函数为偶函数，则（ ）
A．f（6）＞f（7）
B．f（6）＞f（9）
C．f（7）＞f（9）
D．f（7）＞f（10）

7. 难度：中等

若不等式（-1）ⁿa＜2+对任意n∈N^*恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[-2，）
B．（-2，）
C．[-3，）
D．（-3，）

8. 难度：中等

已知椭圆E的离心率为e，两焦点为F₁，F₂，抛物线C以F₁为顶点，F₂为焦点，P为两曲线的一个公共点，若=e，则e的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

若点A（x，y）是300°角终边上异于原点的一点，则的值为    ．

10. 难度：中等

函数的定义域是     ，单调递减区间是     ．

11. 难度：中等

若x，y满足则不等式组表示的区域面积为    ，的取值范围是    ．

12. 难度：中等

曲线y=2-x²与y=x³-2在交点处的切线夹角是     ．（以弧度数作答）

13. 难度：中等

若直线mx+ny-3=0与圆x²+y²=3没有公共点，则m、n满足的关系式为    ；以（m，n）为点P的坐标，过点P的一条直线与椭圆+=1的公共点有    个．

14. 难度：中等

数列a，a₁，a₂，…满足：（[a_n]与{a_n}分别表示a_n的整数部分和小数部分），则a₂₀₀₈=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB-ccosB．
（I）求cosB的值；
（II）若，且，求a和c的值．

16. 难度：中等

等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=3，前n项和为S_n，{b_n}为等比数列，b₁=1，且b₂S₂=64，b₃S₃=960．
（1）求a_n与b_n；
（2）求和：．

17. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．
（1）证明PA∥平面EDB；
（2）求EB与底面ABCD所成的角的正切值．

18. 难度：中等

设函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，当x∈[-1，0）时，（a为实数）．
（Ⅰ）求当x∈（0，1]时，f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在（0，1]上是增函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）是否存在a，使得当x∈（0，1]时，f（x）有最大值-6．

19. 难度：中等

已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），实轴长为2．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线l：y=kx+与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；
（3）在（2）的条件下，线段AB的垂直平分线l与y轴交于M（0，b），求b的取值范围．

20. 难度：中等

设函数y=f（x）的定义域为全体R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）成立，数列{a_n}满足a₁=f（0），且（n∈N^*）
（1）求证：y=f（x）是R上的减函数．
（2）求证：{a_n}是等差数列，并求通项a_n．
（3）若不等式对一切n∈N^*均成立，求k的最大值．