2008-2009学年江苏省南通市启东中学高二（上）第二次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

命题“∃x∈R，x=sinx”的否定为    ．

2. 难度：中等

求导：（+2^x）′=    ，（e^xlnx）′=    ．

3. 难度：中等

复数的模为，则实数a的值是    ．

4. 难度：中等

已知向量，，不共面，设=2++，=+2-λ，=-3+，若，，共面，则实数λ=    ．

5. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是DD₁，B₁C₁的中点，P是棱AB上的动点，则A₁M与PN所成的角的大小是    ．

6. 难度：中等

设z=（m²-5m-6）+（m²-2m-3）i（m∈R），当m=    时，z为实数；当m=    时，z为纯虚数．

7. 难度：中等

曲线y=lnx上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是    ．

8. 难度：中等

若不等式x⁴-4x³＞2-a对任意实数x都成立，则实数a的取值范围    ．

9. 难度：中等

函数y=的极大值与极小值的差是    ．

10. 难度：中等

质点由原点出发时开始计时，沿x轴运动，其加速度a（t）=2t（m/s²），当初速度v（0）=0时，质点出发后9s所走的路程为    ．

11. 难度：中等

数学归纳法证明（n+1）+（n+2）+…+（n+n）=的第二步中，当n=k+1时等式左边与n=k时等式左边的差等于    ．

12. 难度：中等

若点P是椭圆+=1上的一点，F₁，F₂是焦点，且∠F₁PF₂=60°，则△F₁PF₂的面积为    ．

13. 难度：中等

若点P是抛物线y²=8x上的一点，点M的坐标是（4，2），则MP+FP的最小值为    ．

14. 难度：中等

用三段论的形式写出“若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不相等，则此两角不是对顶角”的演绎推理是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

计算：（1）；
（2）++．

16. 难度：中等

求以椭圆+=1的短轴的两个端点为焦点，且过点A（4，-5）的双曲线的标准方程．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=-x³+3x²+9x+a．
（I）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间[-2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

18. 难度：中等

在正棱锥P-ABC中，三条側棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE：EC=PF：FB=1：2．
（1）求证：平面GEF⊥平面PBC；
（2）求证：EG是PG与BC的公垂线段．

19. 难度：中等

平面上有4个点，没有三点共线的情况，证明：以每3个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形．

20. 难度：中等

已知{a_n}是由非负整数组成的数列，满足a₁=0，a₂=3，a_n+1a_n=（a_n-1+2）（a_n-2+2），n=3，4，5，…，
（1）求a₃；
（2）证明a_n=a_n-2+2，n=3，4，5，…；
（3）求{a_n}的通项公式及其前n项和S_n．