2010-2011学年江西省宜春市樟树中学高二（上）第四次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a+b＞0且ab＞0”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

函数y=log₂x+log_x2x的值域为（ ）
A．（-∞，-1]
B．[3，+∞）
C．[-1，3]
D．（-∞，-1]∪[3，+∞）

3. 难度：中等

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各侧棱和底面的边长均为a，点D是CC₁上任意一点，连接A₁B，BD，A₁D，AD，则三棱锥A-A₁BD的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知圆C：（x-a）²+（y-2）²=4（a＞0）及直线l：x-y+3=0，当直线l被C截得弦长为2时，则a等于（ ）
A．
B．2-
C．-1
D．+1

5. 难度：中等

若函数，则f（x）的最大值是（ ）
A．1
B．2
C．
D．

6. 难度：中等

设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x²+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．5
C．
D．

7. 难度：中等

若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则k的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知命题：p：“∀x∈[1，2]，x²-a≥0”，命题q：“∃x∈R，x²+2ax+2-a=0”，若“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|a≤-2或a=1}
B．{a|a≥1}
C．{a|a≤-2或1≤a≤2}
D．{a|-2≤a≤1}

9. 难度：中等

已知等比数列{a_n}满足a_n＞0，n=1，2，…，且a₅•a_2n-5=2²ⁿ（n≥3），则当n≥1时，log₂a₁+log₂a₃+…+log₂a_2n-1=（ ）
A．（n-1）²
B．n²
C．（n+1）²
D．n²-1

10. 难度：中等

有四个关于三角函数的命题：
P₁：∃x∈R，sin²+cos²=；
P₂：∃x、y∈R，sin（x-y）=sinx-siny；
P₃：∀x∈[0，π]，=sinx；
P₄：sinx=cosy⇒x+y=．
其中假命题的是（ ）
A．P₁，P₄
B．P₂，P₄
C．P₁，P₃
D．P₂，P₄

11. 难度：中等

设D是正△P₁P₂P₃及其内部的点构成的集合，点P是△P₁P₂P₃的中心，若集合S={P|P∈D，|PP|≤|PP_i|，i=1，2，3}，则集合S表示的平面区域是（ ）

A．三角形区域
B．四边形区域
C．五边形区域
D．六边形区域

12. 难度：中等

已知以T=4为周期的函数，其中m＞0，若方程3f（x）=x恰有5个实数解，则m的取值范围为（ ）
A．（，）
B．（，）
C．（，）
D．（，）

二、填空题

13. 难度：中等

已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为（单位：吨）．如图所示的程序框图，若分别为1，1.5，1.5，2，则输出的结果S为    ．

15. 难度：中等

已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，三内角A，B，C成等差数列，则sinA=    ．

16. 难度：中等

若，则函数y=tan2xtan³x的最大值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

设向量
（1）若与垂直，求tan（α+β）的值；
（2）求的最大值；
（3）若tanαtanβ=16，求证：∥．

18. 难度：中等

已知f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在区间[-1，4]上的最大值是12．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数m，使得方程f（x）-2mx=0在区间（m，m+6）内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

19. 难度：中等

已知集合A={（x，y）|-2≤x≤2，-2≤y≤2}，集合B={（x，y）|（x-2）²+（y-1）²≤4}．
（1）在集合A中任取一个元素P，求P∈B的概率；
（2）若集合A，B中元素（x，y）的x，y∈Z，则在集合A中任取一个元素P，求P∈B的概率．

20. 难度：中等

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知对任意的n∈N^*，点（n，S_n），均在函数y=b^x+r（b＞0）且b≠1，b，r均为常数）的图象上．
（1）求r的值；
（2）当b=2时，记b_n=（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

21. 难度：中等

已知一四棱锥P-ABCD的三视图，E是侧棱PC上的动点．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）若E点分PC为PE：EC=2：1，求点P到平面BDE的距离；
（3）若E点为PC的中点，求二面角D-AE-B的大小．

22. 难度：中等

设椭圆的左，右焦点为F₁，F₂，（1，）为椭圆上一点，椭圆的长半轴长等于焦距，曲线C是以坐标原点为顶点，以F₂为焦点的抛物线，自F₁引直线交曲线C于P，Q两个不同的交点，点P关于x轴的对称点记为M，设．
（1）求椭圆方程和抛物线方程；
（2）证明：；
（3）若λ∈[2，3]，求|PQ|的取值范围．