2010-2011学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，则正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x²-x=0}关系的韦恩（Venn）图是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

命题：“若-1＜x＜1，则x²＜1”的逆否命题是（ ）
A．若x≥1或x≤-1，则x²≥1
B．若x²＜1，则-1＜x＜1
C．若x²＞1，则x＞1或x＜-1
D．若x²≥1，则x≥1或x≤-1

3. 难度：中等

同时满足两个条件：①定义域内是减函数②定义域内是奇函数的函数是（ ）
A．f（x）=-x|x|
B．f（x）=x³
C．f（x）=sin
D．f（x）=

4. 难度：中等

设m、n表示不同直线，α、β表示不同平面，下列命题正确的是（ ）
A．若m∥α，m∥n，则n∥α
B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n∥β
D．若α⊥β，m⊥α，n∥m，n⊄β，则n∥β

5. 难度：中等

已知x，y满足条件则z=的最大值（ ）
A．3
B．
C．
D．-

6. 难度：中等

已知双曲线的一个焦点与抛物线y²=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和S_n，若a₃+a₇-a₁₀=8，a₁₁-a₄=4，则S₁₃等于（ ）
A．152
B．154
C．156
D．158

8. 难度：中等

若把函数的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知a，b，c∈R⁺，若，则（ ）
A．c＜a＜b
B．b＜c＜a
C．a＜b＜c
D．c＜b＜a

10. 难度：中等

设函数f（x）=若f（m）＜f（-m），则实数m的取值范围是（ ）
A．（-1，0）∪（0，1）
B．（-∞，-1）∪（1，+∞）
C．（-1，0）∪（1，+∞）
D．（-∞，-1）∪（0，1）

11. 难度：中等

已知函数f（x）在R上可导，且f（x）=x²+2x•f′（2），则f（-1）与f（1）的大小关系为（ ）
A．f（-1）=f（1）
B．f（-1）＞f（1）
C．f（-1）＜f（1）
D．不确定

12. 难度：中等

在△ABC中，AB=2，AC=1，的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

由两条抛物线y²=x和y=x²所围成的图形的面积为    ．

14. 难度：中等

如图，是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积为    ．

15. 难度：中等

已知A（1，2），B（3，4），C（-2，2），D（-3，5），则向量在向量上的投影为    ．

16. 难度：中等

圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间．
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2，f（A）=，求△ABC的面积．

18. 难度：中等

如图，平面ABCD⊥平面PAD，△APD是直角三角形，∠APD=90°，四边形ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD=90°，AD=2BC，且AB=BC=PD=2，O是AD的中点，E，F分别是PC，OD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PBO；
（Ⅱ）求二面角A-PF-E的正切值．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ，a_n+1=a_n+n-4，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21），其中λ为实数，n为正整数．
（Ⅰ）证明：对任意实数λ，数列{a_n}不是等比数列；
（Ⅱ）证明：当λ≠-18时，数列{b_n}是等比数列．

20. 难度：中等

某企业科研课题组计划投资研发一种新产品，根据分析和预测，能获得10万元～1000万元的投资收益．企业拟制定方案对课题组进行奖励，奖励方案为：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金也不超过投资收益的20%，并用函数y=f（x）模拟这一奖励方案．
（Ⅰ）试写出模拟函数y=f（x）所满足的条件；
（Ⅱ）试分析函数模型y=4lgx-3是否符合奖励方案的要求？并说明你的理由．

21. 难度：中等

已知椭圆的离心率为e=，且过点（）
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m（k≠0，m＞0）与椭圆交于P，Q两点，且以PQ为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：△OPQ面积的最大值及此时直线l的方程．

22. 难度：中等

已知函数
（Ⅰ）求f（x）在[-1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值；
（Ⅱ）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？