Question

已知椭圆的离心率为e=，且过点（）
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m（k≠0，m＞0）与椭圆交于P，Q两点，且以PQ为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：△OPQ面积的最大值及此时直线l的方程．

Answer

（Ⅰ）根据e=，可得b2=，故所求椭圆为，把点（）代入椭圆的方程可得a2=4，从而得到椭圆的方程．
（Ⅱ）将直线y=kx+m与 联立，得到 4k2+1-m2＞0  ①，由中点公式及=，得到整理得3km=4k2+1  ②，由①②可得k2＞，又  S△OPQ为，故当= 时，△OPQ 的面积取最大值1，此时k=，m=，从而得到l的方程．
【解析】
（Ⅰ）∵e=，∴c=a，∴b2=a2-c2=，故所求椭圆为：．
又椭圆过点 （），∴，∴a2=4，b2=1，
∴．
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为（x，y）
将直线y=kx+m与    联立得  （1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，
∵△=16（4k2+1-m2 ）＞0，即 4k2+1-m2＞0  ①，
又x==，y==，又点[-1，0]不在椭圆OE上．
依题意有 =，整理得3km=4k2+1  ②． 由①②可得k2＞，
∵m＞0，∴k＞0，∴k＞，
设O到直线l的距离为d，
则S△OPQ==  
==．
当 = 时，△OPQ 的面积取最大值1，此时k=，m=，
∴直线方程为 y=x+．