2009年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知△ABC是钝角三角形，且角C为钝角，则点P（sinA+sinB-sinC，sinA-cosB）落在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

已知集合M={3，log_2x4}，N={x，y}，且M∩N={2}，函数f：M→N满足：对任意的x∈M，都有x+f（x）为奇数，满足条件的函数的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4

3. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，已知13a₆=19a₉，且a₁＞0，s_n为数列{a_n}的前n项和，则在s₁，s₂，s₃，…，s₅₀中，最大的一个是（ ）
A．s₁₅
B．s₁₆
C．s₂₅
D．s₃₀

4. 难度：中等

已知函数f（x+2）为奇函数，且满足f（6-x）=f（x），f（3）=2，则f（2008）+f（2009）的值为（ ）
A．0
B．2
C．-2
D．2009

5. 难度：中等

已知函数，则f（x）（ ）
A．最大值为2
B．最小正周期为π
C．一条对称轴为
D．一个对称中心为

6. 难度：中等

已知函数f（x）=|2^|x-1|-2|，关于x的方程f²（x）-2f（x）+k=0，下列四个命题中是假命题的是（ ）
A．存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根
B．存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根
C．存在实数k，使得方程恰有6个不同的实根
D．存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根

7. 难度：中等

如图，在△OAB中，点P是线段OB及AB、AO的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，且，则在直角坐标平面上，实数对（x，y）所表示的区域在直线y-x=3的右下侧部分的面积是（ ）

A．
B．
C．4
D．5

8. 难度：中等

已知函数f（x）=x⁴+ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d为实常数）的图象经过三点，，，则f（1）+f（5）的值等于（ ）

A．0
B．1
C．
D．25

二、填空题

9. 难度：中等

已知，若tan（α+β）=3，则tanα=    ．．

10. 难度：中等

若（x+y）⁵-x⁵+y=0，则y=    ．

11. 难度：中等

函数f（n）=|n-1|+|n-2|+|n-3|+…+|n-100|+50n（n∈N₊）的最小值等于    ．

12. 难度：中等

设函数，若[x]表示不大于x的最大整数，则函数的值域是    ．

13. 难度：中等

已知二次函数f（x）=x²-2mx+1，若对于[0，1]上的任意三个实数a，b，c，函数值f（a），f（b），f（c）都能构成一个三角形的三边长，则满足条件的m的值可以是    ．（写出一个即可）

14. 难度：中等

如图是一个数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行的相邻两个数的和写在这两数的正中间的下方得到下一行，数表从左到右、从上到下无限．则2000在表中出现    次．

三、解答题

15. 难度：中等

如图，已知O为△ABC的外心，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且满足．
（Ⅰ）证明：2a²=b²+c²； 
（Ⅱ）求的值．

16. 难度：中等

已知函数，对于n∈N₊，定义f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，偶函数g（x）的定义域为{x|x≠0}，
当x＞0时，g（x）=|f₂₀₀₉（x）|．
（1）求g（x）；
（2）若存在实数a，b（a＜b）使得该函数在[a，b]上的最大值为ma，最小值为mb，求非零实数m的取值范围．

17. 难度：中等

数列{a_n}满足：a₁=3，a_n+1=a_n²-2a_n+2（n∈N*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{a_n}中的任两项互质．
（3）记，S_n为数列{b_n}的前n项和，求S₂₀₀₉的整数部分．