Question

已知函数f（x+2）为奇函数，且满足f（6-x）=f（x），f（3）=2，则f（2008）+f（2009）的值为（ ）
A．0
B．2
C．-2
D．2009

Answer

由函数f（x+2）为奇函数，f（-x+2）=-f（x+2）⇒f（x）=-f（4-x），与条件f（6-x）=f（x）联立⇒f（x+4）=f（x），从而可求得f（2008）+f（2009）=f（0）+f（1），利用上面的关系式容易求得f（1）、f（0）的值，问题即可解决．
【解析】
由已知得f（-x+2）=-f（x+2），所以f（x）=-f（4-x），
又f（6-x）=f（x），
∴f（6-x）=-f（4-x），
令4-x=t，则f（2+t）=-f（t），f[2+（2+t）]=-f（2+t）=f（t），
∴f（x+4）=f（x），即f（x）是以4为周期的函数；
∴f（2008）+f（2009）=f（0）+f（1），
又f（1）=-f（4-1）=-2，由f（6-x）=f（x）得：f（4）=f（2）；
由f（x+4）=f（x）得：f（0）=f（4）；①
由f（x）=-f（4-x）得：f（0）=-f（4）；②
①+②得：f（0）=0，
∴f（2008）+f（2009）=-2．
故选C．