2010-2011学年重庆市铜梁中学高二（下）3月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下面四个条件中，能确定一个平面的条件是（ ）
A．空间中任意三点
B．空间中两条直线
C．一条直线和一个点
D．两条平行直线

2. 难度：中等

若不共点的两直线a、b与平面α所成角都是θ，则必能使a∥b的θ的值为（ ）
A．
B．0
C．
D．0或

3. 难度：中等

从甲地到乙地有3趟火车，从乙地到丙地有2班轮船，另外，从甲地到丙地有2趟飞机，则从甲地到丙地可选择的旅行方式的种数是（ ）
A．7
B．8
C．10
D．12

4. 难度：中等

三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的（ ）
A．内心
B．重心
C．外心
D．垂心

5. 难度：中等

一条直线与平面成45°角，则该平面内与此直线成30°角的直线的条数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

6. 难度：中等

已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

将地球看作半径为R的球，在北纬45圈上有A、B两地，且A地在东经30线上，B地在西经60线上．现要在A、B两地间开辟一条航道，则航道的最短长度为（ ）
A．
B．
C．
D．πR

8. 难度：中等

下列命题中正确的是（ ）
A．棱柱的侧棱一定相等，侧面是平行四边形
B．有两个面互相平行，其余各面都是平面四边形的多面体是棱柱
C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
D．各条棱长均相等的直平行六面体是正方体

9. 难度：中等

在棱长为1的正方体AC₁中，O是底面A₁B₁C₁D₁的中心，则O到平面ABC₁D₁的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

点P在直径为5的球面上，过P作两两垂直的3条弦，设长度分别为a、b、c．若这三条弦总长为6，以点P为顶点，这三条弦为侧棱的三棱锥的体积为，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

如果一条直线上有一个点不在平面上，则这条直线与这个平面的公共点最多有    个．

12. 难度：中等

一个正四棱锥的中截面（过各侧棱中点的截面）的面积为Q，则它的底面边长为    ．

13. 难度：中等

若一个球的体积为，则它的表面积为    ．

14. 难度：中等

如图，将椭圆位于y轴右边的半椭圆沿短轴B₁B₂折起，使二面角A₃-B₁B₂-A₁为60，则=    ．

15. 难度：中等

设X、Y、Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥Z⇒X∥Y”为真命题的是    （填序号）
①X、Y、Z是直线；②X、Y是直线，Z是平面；③Z是直线，X、Y是平面；④X、Y、Z是平面．

三、解答题

16. 难度：中等

如图，点P是Rt△ABC所在平面外一点，∠ABC=90°，点P在平面ABC上的射影在AB上，E、F、G分别为AB、PB、PC的中点．若PA=BC=4，求△EFG的面积．

17. 难度：中等

如图，PA垂直直角梯形ABCD所在平面，AB⊥AD，BC∥AD，，点M在PC上．
（Ⅰ）求证：AM⊥CD；
（Ⅱ）若M是PC的中点，求二面角M-AD-C的大小．

18. 难度：中等

如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁⊥底面ABC，侧棱AA₁与底面ABC成60°的角，AA₁=2．底面ABC是边长为2的正三角形，M、N分别是AC和B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥侧面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求MN与平面ABC所成的角的大小（用反三角函数表示）．

19. 难度：中等

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC=BB₁=2，，E、F分别是AB和BB₁的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面A₁D₁E；
（Ⅱ）求三棱锥E-FC₁D₁的体积．

20. 难度：中等

如图，已知多面体ABCDE中，AE⊥平面ABC，AE，△ABC是正三角形．
（Ⅰ）求证：平面BDE⊥平面BCD；
（Ⅱ）求平面ABE与平面BCD所成的锐二面角的大小．

21. 难度：中等

如图，矩形ABCD与ADQP所在平面垂直，将矩形ADQP沿PD对折，使得翻折后点Q落在BC上，设AB=1，PA=x，AD=y．

（Ⅰ）试求y关于x的函数解析式；
（Ⅱ）当y取最小值时，指出点Q的位置，并求出此时直线AD与平面PDQ所成的角；
（Ⅲ）在条件（Ⅱ）下，求三棱锥P-ADQ的内切球的半径．