2011年5月山西省运城市盐湖区康杰中学高三（下）月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知3∈{1，a，a-2}，则实数a的值为（ ）
A．5
B．3
C．3或5
D．无解

2. 难度：中等

若复数（z是复数，i为虚数单位），则复数=（ ）
A．9+i
B．9-i
C．2+i
D．2-i

3. 难度：中等

已知点A（3，0），B（-，1），C（cosa，sina），O（0，0），若||=，a∈（0，π），则与的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，若a₃+a₅+a₇+a₉+a₁₁=100，则3a₉-a₁₃的值为（ ）
A．20
B．30
C．40
D．50

5. 难度：中等

如图是一个算法的流程图，则输出a的值是（ ）

A．1
B．log₂3
C．3
D．

6. 难度：中等

若函数f（x）=3ax-2a+1在区间[-1，1]上没有零点，则函数g（x）=（a+1）（x³-3x+4）的递减区间是（ ）
A．（-∞，-1）
B．（1，+∞）
C．（-1，1）
D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

7. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知函数f（x）=log₂（x+m）的图象与函数y=2^x+4的图象关于直线y=x对称，那么方程f（x）=2的解为（ ）
A．2
B．
C．8
D．-

9. 难度：中等

如图所示是三棱锥D-ABC的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设第一象限内的点（x，y）满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为40，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．4

11. 难度：中等

满足A=45°，c=，a=2的△ABC的个数记为m，则a^m的值为（ ）
A．4
B．2
C．1
D．不确定

12. 难度：中等

关于函数f（x）=和实数m，n的下列结论中正确的是（ ）
A．若-3m＜n，则f（m）＜f（n）
B．若m＜n，则f（m）＜f（n）
C．若f（m）＜f（n），则m³＜n³
D．若f（m）＜f（n），则m²＜n²

二、填空题

13. 难度：中等

已知数列{a_n}是递增数列，且对任意n∈N*都有a_n=2n²+kn恒成立，则实数k的取值范围是    ．

14. 难度：中等

过椭圆C：的一个顶点作圆x²+y²=b²的两条切线，切点分别为A，B，若∠AOB=90°（O是坐标原点），则椭圆C的离心率为    ．

15. 难度：中等

已知正三棱锥P-ABC的外接球心为O，且满足，如果球的半径为，则正三棱锥的体积为    ．

16. 难度：中等

设点P（x，y）满足：，则的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若的值．

18. 难度：中等

甲、乙、丙三个盒子，甲盒中有5个白球，乙盒中有4个白球1个黑球，丙盒中有3个白球2个黑球，从每个盒中取2个球（取到每球的可能性相等）．
求：（1）只取到一个黑球的概率；
（2）取到两个黑球的概率．

19. 难度：中等

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AC，PA⊥AB，PA=AB，，，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC，
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值．

20. 难度：中等

已知椭圆的离心率为．
（Ⅰ）过椭圆C的右焦点F且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦 长为1，求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设经过椭圆C右焦点F的直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于点P，且，求λ₁+λ₂的值．

21. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）当a＜0时，若∃x＞0，使f（x）≤0成立，求a的取值范围；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-（a+1）x，a∈（1，e]，证明：对∀x₁，x₂∈[1，a]，恒有|g（x₁）-g（x₂）|＜1．

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，点D是劣弧的中点，连接AD并延长，与过C点的切线交于P，OD与BC相交于点E．
（Ⅰ）求证：OE=AC；
（Ⅱ）求证：=．

23. 难度：中等

已知直线l的参数方程为（t为参数，α为倾斜角，且α）与曲线C：交于A、B两点．
（1）写出直线l的一般方程及直线l通过的定点P的坐标；
（2）求|PA|•|PB|的值．

24. 难度：中等

（选做题）选修4-5：不等式选讲
已知|x₁-2|＜1，|x₂-2|＜1．
（Ⅰ）求证：|x₁-x₂|＜2；
（Ⅱ）若f（x）=x²-x+1，求证：|x₁-x₂|≤|f（x₁）-f（x₂）|≤5|x₁-x₂|．