2009-2010学年河南师大附中分校高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z满足，则复数z为（ ）
A．1+3i
B．
C．
D．1+i

2. 难度：中等

若f′（x）=2，则等于（ ）
A．-1
B．-2
C．-
D．

3. 难度：中等

下列求导数运算正确的是（ ）
A．（x+）′=1+
B．（log₂x）′=
C．（3^x）′=3^xlog₃e
D．（x²cosx）′=-2xsin

4. 难度：中等

曲线y=x³-3x²+1在点（1，-1）处的切线方程为（ ）
A．y=3x-4
B．y=-3x+2
C．y=-4x+3
D．y=4x-5

5. 难度：中等

定积分∫）dx的值为（ ）
A．4+e²
B．3+e²
C．2+e²
D．1+e²

6. 难度：中等

函数y=xlnx+2的单调递增区间是（ ）
A．（）
B．（e，0）
C．（0，）
D．（）

7. 难度：中等

复数等于（ ）
A．1+2i
B．1-2i
C．2+i
D．2-i

8. 难度：中等

曲线y=sinx（0≤x≤2π）与坐标轴围成的面积是（ ）
A．0
B．2
C．3
D．4

9. 难度：中等

函数y=x³-3x²-9x（-2＜x＜2）有（ ）
A．极大值5，极小值-27
B．极大值5，极小值-11
C．极大值5，无极小值
D．极小值-27，无极大值

10. 难度：中等

a，b为不相等的正数，x=，y=，则x，y的大小关系是（ ）
A．x＞y
B．y≥
C．y＞
D．x，y大小关系不定

11. 难度：中等

用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（ ）
A．假设三内角都不大于60度
B．假设三内角都大于60度
C．假设三内角至多有一个大于60度
D．假设三内角至多有两个大于60度

12. 难度：中等

设F（x）=f（x）g（x）是R上的奇函数，当x＜0时，f^′（x）g（x）+f（x）g^′（x）＞0，且g（2）=0，则不等式F（x）＜0的解集是（ ）
A．（-2，0）∪（2，+∞）
B．（-2，0）∪（0，2）
C．（-∞，-2）∪（2，+∞）
D．（-∞，-2）∪（0，2）

二、填空题

13. 难度：中等

已知（2x-1）+i=y+（3-y）i，其中x，y∈R，则x=    ，y=    ．

14. 难度：中等

观察式子：1+，1+，1+，…，则可归纳出式子为    ．

15. 难度：中等

的值是    ．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=2ax-x³，x∈（0，1]，a＞0，若f（x）在（0，1]上单调递增，则实数a的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

计算由曲线y²=x，y=x²所围成图形的面积S．

18. 难度：中等

已知复数z=（m²-3m）+（m²-m-6）i，则当实数m分别为何值时，复数z是：
（1）实数； （2）纯虚数； （3）对应的点位于复平面第三象限．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²-2x+c在x=-2时有极大值6，在x=1时有极小值，
（1）求a，b，c的值；
（2）求f（x）在区间[-3，3]上的最大值和最小值．

20. 难度：中等

在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证△ABC为等边三角形．

21. 难度：中等

某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x（x≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）

22. 难度：中等

已知数列计算S₁，S₂，S₃，根据据算结果，猜想S_n的表达式，并用数学归纳法进行证明．