2010-2011学年吉林省吉林市高三（下）期末数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知函数的定义域为M，g（x）=ln（1+x）的定义域为N，则M∩N=（ ）
A．{x|x＞-1}
B．{x|x＜1}
C．{x|-1＜x＜1}
D．∅

2. 难度：中等

已知复数，则它的共轭复数等于（ ）
A．2-i
B．2+i
C．-2+i
D．-2-i

3. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件：．则目标函数z=2x+3y的最小值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．23

4. 难度：中等

已知等差数列{a_n}满足a₂=3，a_n-1=17，（n≥2），S_n=100，则n的值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11

5. 难度：中等

如图是将二进制数111111_（2）化为十进制数的程序框图，判断框内填入条件是（ ）

A．i＞5
B．i＞6
C．i≤5
D．i≤6

6. 难度：中等

一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是（ ）
A．4π
B．8π
C．
D．

7. 难度：中等

已知x、y的取值如下表从所得的散点图分析，y与x线性相关，且=0.95x+a，则a=（ ）

x		1	3	4
y	2.2	4.3	4.8	6.7

A．2.1
B．2.2
C．2.4
D．2.6

8. 难度：中等

设函数y=x³与y=（）^x-2的图象的交点为（x，y），则x所在的区间是（ ）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）

9. 难度：中等

设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若a，b与α所成的角相等，则α∥b
B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b
C．若a⊂α，b⊂β，α∥b，则α∥β
D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，是a⊥b

10. 难度：中等

已知a=（cosx，sinx），b=（sinx，cosx），记f（x）=a•b，要得到函数y=sin⁴x-cos⁴x的图象，只需将函数y=f（x）的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度

11. 难度：中等

双曲线的一条渐近线与抛物线y=x²+1有公共点，则双曲线的离心率e的取值范围（ ）
A．
B．[5，+∞）
C．
D．

12. 难度：中等

如图，四点A、B、C、D共圆，AC与BD相交于M，，，∠ADB=60°，∠CBD=15°，则AB的长为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

设向量，，满足，且，=3，=4，则=    ．

14. 难度：中等

从下列频率分布直方图中估计所有中位数与众数之和为    元．

15. 难度：中等

已知2a+3b=6，a＞0，b＞0则的最小值是    ．

16. 难度：中等

连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a=（m，n）与向量b=（1，-1）的夹角为θ，则θ∈（0，]的概率是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n=2ⁿ⁺¹-n-2（n∈N^*），
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若，数列{b_n}的前项和为T_n．

18. 难度：中等

某校从高二年级第一学期期末考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数，满分为100分），将数学成绩进行分组并根据各组人数制成如下频率分布表：

分 组	频 数	频 率
[40，50 ）	2	0.04
[50，60 ）	3	0.06
[60，70 ）	14	0.28
[70，80 ）	15	0.30
[80，90 ）	a	b
[90，100]	5	0.1
合 计	c	d

（Ⅰ）求a，b，c，d的值，并估计本次考试全校80分以上学生的百分比；
（Ⅱ）为了帮助成绩差的同学提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩为[90，100]中任选出两位同学，共同帮助成绩在[40，50）中的某一个同学，试列出所有基本事件；若A₁同学成绩为43分，B₁同学成绩为95分，求A₁、B₁两同学恰好被安排在“二帮一”中同一小组的概率．

19. 难度：中等

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱A₁A=2，
（Ⅰ）证明：AC⊥A₁B；
（Ⅱ）求几何体C₁DABA₁的体积．

20. 难度：中等

已知椭圆E：的右焦点F，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于A，B两点，且，|AB|最小值为2．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若圆：的切线l与椭圆E相交于P，Q两点，当P，Q两点横坐标不相等时，问：OP与OQ是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．

21. 难度：中等

已知定义在（0，+∞）上的三个函数f（x）=lnx，g（x）=x²-af（x），，且g（x）在x=1处取得极值．
（Ⅰ）求函数g（x）在x=2处的切线方程；
（Ⅱ）求函数h（x）的单调区间；
（Ⅲ）把h（x）对应的曲线C₁向上平移6个单位后得到曲线C₂，求C₂与g（x）对应曲线C₃的交点个数，并说明理由．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22. 难度：中等

如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连接EC、CD．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若tan∠CED=，⊙O的半径为3，求OA的长．

23. 难度：中等

选做题：坐标系与参数方程
已知直线l经过点P（2，3），倾斜角α=，
（Ⅰ）写出直线l的参数方程．
（Ⅱ）设l与圆x²+y²=4相交与两点A、B，求点P到A、B两点的距离之和．

24. 难度：中等

选做题：不等式选讲
（Ⅰ） 设a₁，a₂，a₃均为正数，且a₁+a₂+a₃=m，求证++≥．
（Ⅱ） 已知a，b都是正数，x，y∈R，且a+b=1，求证：ax²+by²≥（ax+by）²．