2010-2011学年浙江省杭州市学军中学高二（下）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在复平面内，复数+（1+i）²对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

“∵四边形ABCD为矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提为（ ）
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形

3. 难度：中等

用反证法证明：“方程ax²+bx+c=0，且a，b，c都是奇数，则方程没有整数根”正确的假设是方程存在实数根x为（ ）
A．整数
B．奇数或偶数
C．正整数或负整数
D．自然数或负整数

4. 难度：中等

观察图示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

复数，则=（ ）
A．1
B．-1
C．i
D．

6. 难度：中等

实部为5，模与复数4-3i的模相等的复数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

7. 难度：中等

z是纯虚数的一个充要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

平面α的一个法向量为₁=（1，2，1），平面β的一个法向量为为₂=（-2，-4，10），则平面α与平面β（ ）
A．平行
B．垂直
C．相交
D．不确定

10. 难度：中等

已知直线x+y+1=0上的点A与曲线上的点B，则|AB|的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

若复数为实数，则实数a=    ．

12. 难度：中等

某正数列前n项的和与通项的关系是，计算a₁，a₂，a₃后，归纳出a_n=    ．

13. 难度：中等

已知a＞0，b＞0，m=lg，n=lg，则m与n的大小关系为    ．

14. 难度：中等

在曲线ρ=上，极角为-的点的直角坐标是    ．

15. 难度：中等

设x，y为实数，且，则x+y=    ．

16. 难度：中等

设a_n是集合{2^t+2^s|0≤s＜t，s，t∈Z}中的所有数从小到大排成的数列，即a₁=3，a₂=5，a₃=6，a₄=9，a₅=10，a₆=12，…，则a₁₀=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知z=1+i，a，b∈R，若，求a，b的值．

18. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动．
（1）证明：D₁E⊥A₁D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD₁的距离．

19. 难度：中等

求证：-2cos（α+β）=．

20. 难度：中等

用反证法证明：关于x的方程x²+4ax-4a+3=0、x²+（a-1）x+a²=0、x²+2ax-2a=0，当或a≥-1时，至少有一个方程有实数根．

21. 难度：中等

已知椭圆和抛物线C₂：y²=2px（p＞0），过点M（1，0）且倾斜角为的直线与抛物线交于A、B，与椭圆交于C、D，当|AB|：|CD|=5：3时，求p的值．