2009-2010学年山西大学附中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

（文）设a∈R，则a＞1是＜1 的（ ）
A．必要但不充分条件
B．充分但不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

对抛物线y=4x²，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为（0，1）
B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为（1，0）
D．开口向右，焦点为

3. 难度：中等

函数y=x³+x的递增区间是（ ）
A．（0，+∞）
B．（-∞，1）
C．（-∞，+∞）
D．（1，+∞）

4. 难度：中等

已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：
①若m⊂α，n∥α，则m∥n；
②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β；
④若m⊥α，m⊥β，则α∥β．
其中真命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

5. 难度：中等

曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设双曲线焦点在y轴上，两条渐近线为，则该双曲线离心率e=（ ）
A．5
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如图，一个简单空间的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则这个几何体的全面积是（ ）

A．12
B．
C．
D．8

8. 难度：中等

设e₁，e₂分别为具有公共焦点F₁与F₂的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．不确定

9. 难度：中等

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M和N分别为A₁B₁和BB₁的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．4

二、填空题

11. 难度：中等

命题“∃x∈R，”的否定是     ．

12. 难度：中等

函数y=x³-6x+a的极大值是    ．

13. 难度：中等

一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为    ．

14. 难度：中等

椭圆的离心率，则m的取值范围为    ．

15. 难度：中等

将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，有如下四个结论：
①AC⊥BD； 
②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD成60°的角；   
④AB与CD所成的角为60°；
其中正确结论是    （写出所有正确结论的序号）

三、解答题

16. 难度：中等

已知p：方程x²+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x²+4（m-2）x+1=0无实根．若p或q为真，p且q为假．求实数m的取值范围．

17. 难度：中等

设a，b，c为正实数，求证：，并指出等号成立的条件．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-ax²-3x．
（1）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值．

19. 难度：中等

如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，．
（I）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角A-BC-D的余弦值；
（Ⅲ）求O点到平面ACD的距离．

20. 难度：中等

如图，F是椭圆的一个焦点，A、B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为，点C在x轴上，BC⊥BF，由B、C、F三点确定的圆M恰好与直线相切．
（I）求椭圆的方程；
（II）过F作一条与两坐标轴都不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点，若在x轴上存在一点N（x，0），使得直线NP与直线NQ关于x轴对称，求x的值．