2010-2011学年广东省梅州市梅州中学高二（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

不等式-x²+3x+10＞0的解集为（ ）
A．（-∞，-2）∪（5，+∞）
B．（-∞，-5）∪（2，∞）
C．（-5，2）
D．（-2，5）

2. 难度：中等

在△ABC中，a=3，b=3，A=120°，则角B的值为（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

3. 难度：中等

在同一坐标系中，方程与ax+by²=0（a＞b＞0）的曲线大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

抛物线y=4x²上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．0

5. 难度：中等

设双曲线焦点在y轴上，两条渐近线为，则该双曲线离心率e=（ ）
A．5
B．
C．
D．

6. 难度：中等

木星的体积约是地球体积的倍，则它的表面积约是地球表面积的（ ）
A．60倍
B．60倍
C．120倍
D．120倍

7. 难度：中等

在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（ ）
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC
D．平面PAE⊥平面ABC

8. 难度：中等

若椭圆或双曲线上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2：1，则称此椭圆或双曲线存在“F点”，下列曲线中存在“F点”的是（ ）
A．
B．
C．
D．x²-y²=1

二、填空题

9. 难度：中等

已知向量，若，且，则x+y=    ．

10. 难度：中等

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₂=6，S₄=30，则S₆=    ．

11. 难度：中等

双曲线上一点P到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，则P点到左焦点的距离为     ．

12. 难度：中等

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若，则AB₁与C₁B所成的角的大小    ．

13. 难度：中等

下列命题：
①“a²+b²=0，则a，b全为0”的逆否命题为：“若a，b全不为0，则a²+b²≠0”．
②“x=1”是“x²-3x+2=0”的充分不必要条件．
③若P^q为假命题，则P、q均为假命题．
④对于命题P：存在x∈R使得x²+x+1＜0．则﹁P：不存在x∈R使得x²+x+1≥0．
说法错误的是    ．

14. 难度：中等

如图，抛物线y²=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

学校要建一个面积为640m²的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为5m和8m的小路（如图所示）．问游泳池的长和宽分别为多少米时，占地面积最小？并求出占地面积的最小值．

16. 难度：中等

已知倾斜角为135°且过点（2，1）的直线l与圆C：（x-1）²+y²=4相交与A，B两点，
（1）求直线l的方程；
（2）求弦长|AB|．

17. 难度：中等

已知数列a_n中a₁=1，点P（a_n，a_n+1）在直线y=x+2上，
（1）求数列a_n的通项公式；
（2）设，求S_n．

18. 难度：中等

已知焦点在x轴上，对称轴为坐标轴的椭圆的离心率为，且以该椭圆上的点和椭圆的两焦点F₁，F₂为顶点的三角形的周长为6，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过点N（1，0）斜率为k直线l与椭圆相交与A、B两点，若，求直线l斜率k的取值范围．

19. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D为AB的中点．
（Ⅰ）求证AC⊥BC₁；
（Ⅱ）求证AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅲ）求异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值．

20. 难度：中等

已知抛物线C：y²=mx（m≠0）的准线与直线l：kx-y+2k=0（k≠0）的交点M在x轴上，l与C交于不同的两点A、B，线段AB的垂直平分线交x轴于点N（p，0）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求实数p的取值范围；
（3）若C的焦点和准线为椭圆Q的一个焦点和一条准线，试求Q的短轴的端点的轨迹方程．